1、1.5.2综合法和分析法学习目标：1.了解综合法与分析法证明不等式的思维过程与特点.2.会用综合法、分析法证明简单的不等式教材整理1综合法从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题，这种方法称为综合法已知a0，1b0，则()Aaabab2Bab2abaCabaab2 Dabab2a解析1b0，1b20b.又a0，abab2a.答案D教材整理2分析法从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后达到命题所给出的条件(或者一个已证明过的定理或一个明显的事实)，这种证明方法称为分析法已知a0，1，求证： .证明要证明，
2、只需证1，即(1a)(1b)1，只要证abab0成立a0，1，a0，b0，0，abab0成立故成立用综合法证明不等式【例1】已知a，b，c是正数，求证：abc.精彩点拨由a，b，c是正数，联想去分母，转化证明b2c2c2a2a2b2abc(abc)，利用x2y22xy可证或将原不等式变形为abc后，再进行证明自主解答法一：a，b，c是正数，b2c2c2a22abc2，b2c2a2b22ab2c，c2a2a2b22a2bc，2(b2c2c2a2a2b2)2(abc2ab2ca2bc)，即b2c2c2a2a2b2abc(abc)又abc0，abc.法二：a，b，c是正数，22c.同理2a，2b，2
3、2(abc)又a0, b0，c0，b2c2a2c2a2b2abc(abc)故abc.1综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式(切入点)，这是证明的关键2综合法证明不等式的主要依据：(1)不等式的基本性质，(2)基本不等式及其变形，(3)三个正数的算术几何平均不等式等1已知a，b，c为ABC的三条边，求证：abbcaca2b2c20，b0，c0，a2b22ab，当且仅当ab时取等号b2c22bc，当且仅当bc时取等号，a2c22ac，当且仅当ac时取等号a2b2c2abbcac.再证a2b
4、2c22ab2bc2ac.法一：在ABC中，abc，bac，cba，则a2a(bc)，b2b(ac)，c2c(ba)a2b2c2a(bc)b(ac)c(ab)，即a2b2c2bc，0abc,0bca,0acb，(ab)2c2，(bc)2a2，(ac)2b2，(ab)2(bc)2(ac)2c2a2b2，即a2b2c22ab2bc2ac.综上，得abbcaca2b2c2b0”，求证：.证明要证原不等式成立，只需证ab2，即证()2b0，所以只需证，即1，即1.只需证1b0，1成立，原不等式成立.综合法与分析法的特点探究问题1综合法与分析法证明不等式的逻辑关系是怎样的？提示综合法：AB1B2BnB(
5、已知)(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论)分析法：BB1B2BnA(结论)(步步寻求不等式成立的充分条件)(已知)在较复杂的不等式的证明中，往往需要把综合法与分析法结合起来使用2如何理解分析法寻找的是充分条件？提示用分析法证明，其叙述格式是：要证明A，只需证明B.即说明只要有B成立，就一定有A成立因此分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件分析法体现了数学思维中的逆向思维逆求(不是逆推)结论成立的充分条件3综合法与分析法证明不等式的一般思路是什么？提示综合法的思路是“由因导果”，也就是从已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出欲证的不等式；分析法的思路是“执
6、果索因”，在表述中经常用符号“”，这里注意箭头的方向，用分析法时，一般用“”，用综合法时，一般用“”，一般来说，无理不等式、三角不等式以及含绝对值符号的不等式，采用分析法证明较方便【例3】设实数x，y满足yx20，且0a1，求证：loga(axby)loga2.精彩点拨要证的不等式为对数不等式，结合对数的性质，先用分析法探路，转化为要证明一个简单的结论，然后再利用综合法证明自主解答由于0a1，则tlogax(x0)为减函数欲证loga(axay)loga2，只需证axay2a.yx20,0a1，xyxx2.当且仅当x时，(xy)max.axya，a.又axay2(当且仅当xy取等号). 又ax
7、ay2a.由于等号不能同时成立，式等号不成立，即axay2a成立故原不等式loga(axay)loga2成立1通过等式或不等式运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明体现了分析法与综合法之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证关系2函数与不等式综合交汇，应注意函数性质在解题中的运用3已知x0，y0，求证：(x2y2)(x3y3).证明要证明(x2y2)(x3y3)，只需证(x2y2)3(x3y3)2，即证x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6，即证3x4y23x2y42x3y3.x0，y0，x2y20，即证3x23y22xy.3x23y2x2y22xy，3x2
8、3y22xy成立(x2y2)(x3y3).1若a，b，c是常数，则“a0，且 b24ac0”是“对任意的xR，有ax2bxc0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析当a0，b24ac0时，ax2bxc0.反之，ax2bxc0对任意的xR成立不能推出a0，b24ac0.反例：ab0，c2.答案A2要证a2b21a2b20，只需证()A2ab1a2b20Ba2b210C1a2b20D(a21)(b21)0解析a2b21a2b2(a21)(b21)0.答案D3设a0，b0，且ab(ab)1，则()Aab2(1)Bab1Cab(1)2 Dab2(1)解析因为，所以ab(ab)2，(ab)2(ab)ab(ab)1，(ab)24(ab)40，因为a0，b0，所以ab22成立(当且仅当ab1时取等号)答案A4已知a0，b0且ab1，则与8的大小关系是_解析a0，b0且ab1，1ab20，进而得2，于是得4.又28.故8.答案85设a0，b0，c0.证明：(1)；(2).证明(1)a0，b0，(ab)224，.(2)由(1)知.同时，三式相加得：2，.