1、55.2简单的三角恒等变换【素养目标】1能通过二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式(逻辑推理)2了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题(数学运算)3进一步掌握两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，半角公式，并能灵活利用公式解决求值、化简、证明问题(逻辑推理、数学运算)【学法解读】在本节学习中学生应先复习二倍角公式，利用二倍角公式推导半角公式，并掌握半角适用条件培养学生数学中的逻辑推理必备知识探新知基础知识知识点 半角公式cos(C)，sin(S)，tan(T)思考：(1)半角公式是由以前学习过的哪些公式推导来的？如何推导的？(2)半角公式中的正负号能否去掉？该如
2、何选择？(3)半角公式对R都成立吗？提示：(1)二倍角的余弦公式推导如下：在二倍角公式cos212sin22cos21中，以代替2，以代替，即得：cos12sin22cos21.所以sin2，cos2，tan2.开方可得半角公式(2)不能若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号；若给出的具体范围(即某一区间)时，则先求所在范围，然后根据所在范围选用符号(3)公式C，S对R都成立，但公式T要求(2k1)(kZ)基础自测1下列说法中正确的个数是(A)sin.cos20.tan.sin4cos42sin(4)A1B2C3D4解析错误，正确，故选A.2已知180360，由cos的值等于(C
3、)ABCD3已知cos，则sin等于(B)ABCD解析，sin.4sinxcosx等于(C)Asin2xBsinCsinDsin解析原式sin.关键能力攻重难题型探究题型一应用半角公式求值例1已知sin，且3，求sin，cos，tan.分析已知条件中的角与所求角中的成二倍关系，从而选择半角公式求值解析sin，3，cos.，sin，cos，tan2.归纳提升已知的某个三角函数值，求的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算即可【对点练习】 设2，cos，求：(1)sin的值；(2)cos的值；(3)sin2的值解析(1)2，又cos，sin
4、，sin2sincos2().(2)cos2cos212()21.(3)sin2.题型二三角恒等式的化简与证明例2化简：(0)证明原式.因为0，所以0，所以sin0，知角是第一或第二象限角，从而必为第一或第三象限角，所以tan的值必然为正上述解法中忽视了sin0，从而为第一或第三象限角这一隐含条件，导致解中的tan有正负两个值另外，错解中还有一点不妥，就是解法过于笼统与简单，没有细分sin，cos与tan的值的对应情况，依上述解法，sin，cos与tan的值对应着22222216(组)情况，但实际情况却只有4组(见下面正确解法)，这就造成了解的结果混乱，不能体现三个数值的对应情况正解由sin0
5、，知角是第一或第二象限角(1)当是第一象限角时，cos，且为第一或第三象限角，于是当为第一象限角时，sin，cos，tan；当为第三象限角时，sin，cos，tan.(2)当是第二象限角时，cos，且为第一或第三象限角，于是当为第一象限角时，sin，cos，tan3；当为第三象限时，sin，cos，tan3.方法点拨(1)应用公式sin，cos以及tan时，一定要注意根号前的符号是由的终边所在的象限来确定这一原则，充分挖掘题设中的隐含条件，利用隐含条件，判断解的符号，缩小解的范围，减少解答中的失误另外，在解答过程中也要充分注意解题格式的规范性，规范表述，不要给出模糊不清的过程与结果(2)注意等
6、号两边表达式的定义域是否一致学科素养三角恒等变换的综合应用三角恒等变换就是熟练运用所学公式将三角函数式进行化简，在综合讨论三角函数性质时，通常先要将三角函数式化简成某一个角的三角函数式，再去研究其图象与性质是考试的重点例5已知f(x)(1)sin2x2sin(x)sin(x)(1)若tan2，求f()的值；(2)若x，求f(x)的取值范围分析(1)将函数f(x)转化为只含有sin2x与cos2x的式子，由tan2，求出sin2与cos2的值，代入f(x)求f()(2)将f(x)化为Asin(x)B的形式，利用正弦函数的图象与性质求解解析(1)f(x)(sin2xsinxcosx)2sin(x)
7、cos(x)sin2xsin(2x)(sin2xcos2x)cos2x(sin2xcos2x).由tan2，得sin2.cos2.所以，f()(sin2cos2).(2)由(1)得f(x)(sin2xcos2x)sin(2x).由x，得2x.所以sin(2x)1,0f(x).所以f(x)的取值范围是0，归纳提升利用三角恒等变换的解题技巧(1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin2，cos2化为正切tan，为第(1)问铺平道路(2)把形如yasinxbcosx化为ysin(x)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性课堂检测固双基1若cos，是第三象限角，则(A)ABC2D2解析是第三象限角，cos，sin.故选A.2若，且sin2，则sin(D)ABCD解析本题主要考查简单的三角恒等变换、倍角公式及同角三角函数关系式，2，sin0，cos20，cos2，又sin2，sin2，sin，故选D.3设3，则化简的结果是(C)AsinBcosCcosDsin解析3，cos0，原式|cos|cos.4设acos6sin6，b2sin13cos13，c，则有(C)AcbaBabcCacbDbcca.故选C.5已知cos ，且270360，试求sin和cos的值解析270360，1350，cos0.sin；cos.