1、2021年“超级全能生”高考数学联考试卷（文科）（丙）（1月份）一、选择题（每小题5分）.1设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，复数z在复平面内对应的点为（3，4），则（）ABCD2已知全集为R，集合Ax|2x3，Bx|log2（x+3）2，则A（RB）（）Ax|1x2Bx|1x3Cx|1x2Dx|1x33PM2.5是评估空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5月均值在35g/m3以下空气质量为一级，在3575g/m3之间空气质量为二级，在75g/m3以上空气质量为超标某地区2020年1月至12月的PM2.5月均值（单位：g/m3）的统计数据如图所示，
2、则下列叙述不正确的是（）A该地区一年中空气质量超标的月份只有1个月B该地区一年中PM2.5月均值2月到7月的方差比8月到11月的方差大C该地区上半年中PM2.5月均值的平均数约为61.83D该地区从2月份到7月份PM2.5值持续增加4已知tan，则sin（2）的值为（）ABC27D5已知数列an的前n项和为Sn，且Sn+12Sn1（nN*），a11，则S7（）A255B63C128D1276已知aln，bloge，clog，则下列不等关系正确的是aba+bb+cacb+cbcacbcb+cb+caba+b（）ABCD7已知双曲线C的左、右焦点分别为F1（1，0），F2（1，0），过点F2的直线
3、与C交于A，B两点，且满足|AF1|AB|，则C的离心率为（）A2BCD28已知函数f（x）sin（x+）（0）的最小正周期为，则以下说法错误的是（）A将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到的函数g（x）的图象关于原点对称B函数f（x）在区间0，上为减函数C由g（x）cos2x的图象向右平移个单位长度可以得到f（x）的图象D点（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心9从4名男同学和3名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出2名同学中恰好有1男1女同学的概率是（）ABCD10如图，二面角l为60，A，B，C，D，El，BCD45，AED30，AE2BC，l平面ABD，则直线AB与所成
4、的角为（）A45B60C90D3011某几何体的三视图如图所示（网格纸的小正方形的边长是2），则该多面体的外接球体积为（）A24B16C12D3212在平面直角坐标系中，有定点M（1，1），F（1，0），动点P满足，记动点P的轨迹为C，过F（1，0）且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若0，则ABM面积S的值为（）ABCD二、填空题（每小题5分）.13已知单位向量，满足|+2|2，则的值为 14已知O是坐标原点，点P（1，2），若点Q（x，y）为平面区域上的一个动点，则的最大值为 15已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x（，0时，f（x）2x+，设h（x）sinx，若函数g（x）f（x）h（
5、x），则g（x）在区间2020，2019上的零点个数为 16在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足a2+b2c2+ab若b4，且ABC为锐角三角形，则ABC面积的取值范围为 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17设正项数列an的前n项和为Sn（nN*），且满足an+1是4，Sn+4的等比中项（）求an的通项公式；（）设bn，求bn的前n项和Tn18为打造“四态融合、产村一体”望山、见水、忆乡愁的美丽乡村，增加农民收入，某乡政府统计了景区农家
6、乐在20122018年中任选5年接待游客人数y（单位：万人）的数据如表：年份20122013201520172018年份代号x23578接待游客人数y33.546.58（）根据数据说明变量x，y是正相关还是负相关；（）求相关系数r的值，并说明年份与接待游客数相关性的强与弱；（）分析2012年至2018年该景区农家乐接待游客人数y的变化情况，利用最小二乘法求该景区农家乐接待游客人数关于年份代号的回归直线方程；并预测该景区农家乐2020年接待游客人数约为多少万人（精确到小数点后2位数）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为，r，一般地，当r的绝对值大于0.75时认为两
7、个变量之间有很强的线性关系19如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC是边长为2的等边三角形，BB14，E为棱A1C1的中点，F为棱A1B1的中点，BC1B1CO（）证明：A1B平面EFO；（）求三棱锥B1A1CC1的体积20在平面直角坐标系中，已知点A（2，t），B（2，t+），若点P同时满足：PAB的面积为S1，以P为圆心的圆过点F（2，0），且圆P的面积为S2，若S1（）求P的轨迹E的方程；（）若过F的直线l与E交于M，N两点，点Q（2，0），求证：21已知函数f（x）xex+a（x2+2x+1），aR（）求f（x）的单调区间；（）若a1，存在非零实数m，n，满足f（m）f（n）0
8、，证明：|mn|2（二）选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，直线l经过定点（1，1），倾斜角为以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为22cos4sin+40（）求l的参数方程和C的直角坐标方程；（）设l与C的交点为M，N，求CMN的面积选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）2sinx+|a1|+|a2|（）若f（）7，求a的取值范围；（）若a0，在（）的条件下，记a的最小正整数为m，且正实数b，c，d满足
9、b+c+dm，证明：参考答案一、选择题（每小题5分）.1设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，复数z在复平面内对应的点为（3，4），则（）ABCD解：复数z在复平面内对应的点为（3，4），则z3+4i，34i，则i，故选：B2已知全集为R，集合Ax|2x3，Bx|log2（x+3）2，则A（RB）（）Ax|1x2Bx|1x3Cx|1x2Dx|1x3解：由log2（x+3）2可得：0x+34，3x1，集合Bx|3x1，RBx|x3或x1，又集合Ax|2x3，A（RB）x|1x3，故选：D3PM2.5是评估空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5月均值在35
10、g/m3以下空气质量为一级，在3575g/m3之间空气质量为二级，在75g/m3以上空气质量为超标某地区2020年1月至12月的PM2.5月均值（单位：g/m3）的统计数据如图所示，则下列叙述不正确的是（）A该地区一年中空气质量超标的月份只有1个月B该地区一年中PM2.5月均值2月到7月的方差比8月到11月的方差大C该地区上半年中PM2.5月均值的平均数约为61.83D该地区从2月份到7月份PM2.5值持续增加解：对于A，该地区一年中空气质量超标的月份只有6月份这1个月，选项A正确；对于B，该地区2月到7月的数据为55，45，56，65，68，82，53，8月到11月的数据为46，42，36，
11、2月到7月的数据波动性大些，所以方差大，选项B正确；对于C，计算16月份的PM2.5月均值为（55+45+56+68+82+53）61.83，选项C正确；对于D，该地区从2月份到6月份PM2.5值持续增加，7月份减少，所以选项D错误故选：D4已知tan，则sin（2）的值为（）ABC27D解：因为tan，所以sin（2）cos2故选：A5已知数列an的前n项和为Sn，且Sn+12Sn1（nN*），a11，则S7（）A255B63C128D127解：Sn+12Sn1，当n2时，Sn2Sn11，两式相减可得an+12an，又a11，a1+a22a11，a22，a22a1，an+12an（nN*），
12、数列an是首项为1，公比为2的等比数列，S7271127故选：D6已知aln，bloge，clog，则下列不等关系正确的是aba+bb+cacb+cbcacbcb+cb+caba+b（）ABCD解：因为aln1，bloge，clogloge，所以ab1，a+b2，b+c0，即b+caba+b，错误，正确；又ac1，b+c0，bc，所以acbcb+c，错误，正确综上知，正确的序号是故选：A7已知双曲线C的左、右焦点分别为F1（1，0），F2（1，0），过点F2的直线与C交于A，B两点，且满足|AF1|AB|，则C的离心率为（）A2BCD2解：由题意可得A，B为双曲线右支上的两点，可设|BF2|t
13、，则|AF2|3t，|AF1|AB|4t，由双曲线的定义可得|AF1|AF2|t2a，则|AF1|8a，|AF2|6a，|BF2|2a，|BF1|4a，在ABF1中，可得cosF1AB，在AF2F1中，可得cosF1AF2cosF1AB，解得a，所以e2，故选：D8已知函数f（x）sin（x+）（0）的最小正周期为，则以下说法错误的是（）A将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到的函数g（x）的图象关于原点对称B函数f（x）在区间0，上为减函数C由g（x）cos2x的图象向右平移个单位长度可以得到f（x）的图象D点（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心解：函数f（x）sin（x+）（0
14、）的最小正周期为，2，函数f（x）sin（2x+）将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到的函数g（x）sin（2x+）sin2x的图象关于原点对称，故A正确；当x0，2x+，故函数f（x）在区间0，上为减函数，故B正确；由g（x）cos2x的图象向右平移个单位长度可以得到ycos（2x） 的图象，故C错误；令x，求得f（x）0，可得点（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心，故D正确，故选：C9从4名男同学和3名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出2名同学中恰好有1男1女同学的概率是（）ABCD解：从4名男同学和3名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n21，选出2名
15、同学中恰好有1男1女同学包含的基本事件个数m12，则选出2名同学中恰好有1男1女同学的概率是P故选：B10如图，二面角l为60，A，B，C，D，El，BCD45，AED30，AE2BC，l平面ABD，则直线AB与所成的角为（）A45B60C90D30解：l平面ABD，AD、BD平面ABD，lAD，lBD，又二面角l为60，ADB60，设BC，则AE4，在RtBCD中，BCD45，BD1，在RtADE中，AED30，AD2，在ABD中，由余弦定理知，AB2AD2+BD22ADBDcosADB4+12213，AB，AB2+BD2AD2，即ABBD，l平面ABD，AB平面ABD，lAB，又lBDD，
16、l、BD平面，AB平面，即直线AB与所成的角为90故选：C11某几何体的三视图如图所示（网格纸的小正方形的边长是2），则该多面体的外接球体积为（）A24B16C12D32解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体；如图所示：设外接球的半径为：（2R）242+42+42解得R2，所以：故选：D12在平面直角坐标系中，有定点M（1，1），F（1，0），动点P满足，记动点P的轨迹为C，过F（1，0）且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若0，则ABM面积S的值为（）ABCD解：设P（x，y），因为点M（1，1），F（1，0），O（0，0），所以（1x，y），（1x，1y），（1，0），又
17、，所以|1x|，所以（1x）2+y2（1+x）2，整理的y24x，所以动点P的轨迹方程为y24x，轨迹为抛物线，设直线AB的方程为yk（x1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，整理得k2x2（2k2+4）x+k20，则x1+x22+x1x21所以y1+y2k（x1+x2）2k，y1y2k2（x11）（x21）k2x1x2（x1+x2）+14，因为0，所以（x1+1，y11）（x2+1，y21）x1x2+x1+x2+1+y1y2（y1+y2）+11+2+14+10，整理得k24k+40，解得k2，所以直线AB的方程为2xy20，点M到直线AB的距离d，|AB|5，所以ABM面积S
18、|AB|d故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知单位向量，满足|+2|2，则的值为解：单位向量，满足|+2|2，可得4，1+4+44则故答案为：14已知O是坐标原点，点P（1，2），若点Q（x，y）为平面区域上的一个动点，则的最大值为3解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），P（1，2），Q（x，y），令zx2y，化为y，由图可知，当直线y过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为3故答案为：315已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x（，0时，f（x）2x+，设h（x）sinx，若函数g（x）f（x）h（x），则g（x）在区间2020，2019上的零
19、点个数为4038解：f（x）是定义在R上的偶函数，当x（，0时，f（x）2x+，h（x）sinx，在同一坐标系中分别画出yf（x）与yh（x）的图像如图，在（0，2019）上，h（x）sinx有1009个周期，故两个函数有100922018个交点，在2020，0）上，h（x）sinx有1010个周期，故两个函数有101022020个交点，故共有2020+20184038个交点，即函数g（x）f（x）h（x）在区间2020，2019上的零点个数为 4038，故答案为：403816在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足a2+b2c2+ab若b4，且ABC为锐角三角形，则ABC面积的
20、取值范围为（2，8）解：因为a2+b2c2+ab，可得a2+b2c2ab，所以由余弦定理知cosC，因为C（0，），所以C，所以A+B，又ABC是锐角三角形，所以，解得B，由正弦定理知，可得c，所以ABC面积SbcsinA4sin（B）4+2，因为B，所以tanB，所以2S8，故ABC面积的取值范围为（2，8）故答案为：（2，8）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17设正项数列an的前n项和为Sn（nN*），且满足an+1是4，Sn+4的等比中项（）求an
21、的通项公式；（）设bn，求bn的前n项和Tn解：（）由an+1是4，Sn+4的等比中项，可得（1+an）24（Sn+4），即4Sn（an+1）216，当n1时，4a14S1（a1+1）216，解得a15（负的舍去）；当n2时，4Sn（an+1）216，则4Sn1（an1+1）216，由可得4an4Sn4Sn1（an+1）216（an1+1）2+16，化为2（an+an1）（anan1）（an+an1），由an0，可得anan12，所以an是首项为5，公差为2的等差数列，可得an5+2（n1）2n+3；（）bn，所以Tn1+118为打造“四态融合、产村一体”望山、见水、忆乡愁的美丽乡村，增加农民
22、收入，某乡政府统计了景区农家乐在20122018年中任选5年接待游客人数y（单位：万人）的数据如表：年份20122013201520172018年份代号x23578接待游客人数y33.546.58（）根据数据说明变量x，y是正相关还是负相关；（）求相关系数r的值，并说明年份与接待游客数相关性的强与弱；（）分析2012年至2018年该景区农家乐接待游客人数y的变化情况，利用最小二乘法求该景区农家乐接待游客人数关于年份代号的回归直线方程；并预测该景区农家乐2020年接待游客人数约为多少万人（精确到小数点后2位数）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为，r，一般地，当r
23、的绝对值大于0.75时认为两个变量之间有很强的线性关系解：（）由表中的数据可得，则0，由于变量y的值随着x的值增加而增加，故x与y之间时正相关；（）r，故年份与接待游客量相关性很强；（）因为，所以景区农家乐接待游客人数关于年份代号的回归直线方程为；当x10时，所以预测2020年该景区农家乐接待游客人数约为9.04万人19如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC是边长为2的等边三角形，BB14，E为棱A1C1的中点，F为棱A1B1的中点，BC1B1CO（）证明：A1B平面EFO；（）求三棱锥B1A1CC1的体积【解答】（）证明：如图，连接A1B，点E为棱A1C1的中点，点F为棱A1B1的中
24、点，EF为A1B1C1的中位线，故EFB1C1，又BCB1C1，EFBC，同理OF是A1B1C的中位线，故OFA1C，又BCA1CC，EFOFF，故平面A1BC平面EFO，又A1B平面A1BC，A1B平面EFO；（）解：由等体积法知，20在平面直角坐标系中，已知点A（2，t），B（2，t+），若点P同时满足：PAB的面积为S1，以P为圆心的圆过点F（2，0），且圆P的面积为S2，若S1（）求P的轨迹E的方程；（）若过F的直线l与E交于M，N两点，点Q（2，0），求证：【解答】（）解：A（2，t），B（2，t+），|AB|2，过点P作PP垂直直线x2于点P，则S1|AB|PP|PP|，S2|PF
25、|2，S1，|PP|PF|2，即|PP|PF|，点P到点F的距离等于到直线x2的距离，即点P的轨迹E是以F为焦点，直线x2为准线的抛物线，故P的轨迹E的方程为y28x（）证明：当直线l的斜率不存在时，由抛物线的对称性知，SMFQSNFQ，|MQ|NQ|，成立；当直线l的斜率存在时，设其方程为yk（x2），M （x1，y1），N（x2，y2），联立，得k2x2（4k2+8）x+4k20（k0），x1+x24+，x1x24，kQM+kQN0，kQMkQN，即MQFNQF，过点F作FCQM于C，FDQN于D，则|FC|FD|，SMFQ|MQ|FC|，SNFQ|NQ|FD|，21已知函数f（x）xex
26、+a（x2+2x+1），aR（）求f（x）的单调区间；（）若a1，存在非零实数m，n，满足f（m）f（n）0，证明：|mn|2解：（）由题意得f（x）（x+1）（ex+2a），令g（x）（x+1）（ex+2a），当a0时，g（1）0，即当x（，1）时，g（x）f（x）0，当x（1，+）时，g（x）f（x）0，故f（x）在（，1）递减，在（1，+）递增，当a时，令g（x）f（x）0，则x11，x2ln（2a），x1x2，故f（x）在（，1）递增，在（1，ln（2a）递减，在（ln（2a），+）递增，当a时，令g（x）f（x）0，则x11，x2ln（2a），x1x2，满足g（x）f（x）0，故f（
27、x）在R上单调递增，当a0时，令g（x）f（x）0，则x11，x2ln（2a），x1x2，故f（x）在（，ln（2a）递增，在（ln（2a），1）递减，在（1，+）递增，综上：当a0时，f（x）在（，1）递减，在（1，+）递增，当a0时，f（x）在（，ln（2a）递增，在（ln（2a），1）递减，在（1，+）递增，当a时，f（x）在R上单调递增，当a时，f（x）在（，1）递增，在（1，ln（2a）递减，在（ln（2a），+）递增；（）证明：a1时，f（x）xex+（x+1）2，由题意得m，n分别是f（x）的零点，由（）得f（x）在（1，+）上递增，在（，1）上递减，设mn，易知f（0）10，f
28、（1）0，由零点存在性定理得1m0，f（2）10，由零点存在性定理得2n1，则mn2，同理当mn时也成立，综上：|mn|2（二）选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，直线l经过定点（1，1），倾斜角为以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为22cos4sin+40（）求l的参数方程和C的直角坐标方程；（）设l与C的交点为M，N，求CMN的面积解：（）直线l经过定点（1，1），倾斜角为，转换为参数方程为（t为参数
29、），圆C的极坐标方程为22cos4sin+40，根据，转化为直角坐标法方程为（x1）2+（y2）21（）将直线的参数方程（t为参数），代入到（x1）2+（y2）21，得到，所以，t1t24，故|MN|，圆心（1，2）到直线MN的距离d，所以选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）2sinx+|a1|+|a2|（）若f（）7，求a的取值范围；（）若a0，在（）的条件下，记a的最小正整数为m，且正实数b，c，d满足b+c+dm，证明：解：（）因为f（）7，所以3+|a1|+|a2|7，即|a1|+|a2|4，等价为或或，解得a或a或a，所以a的取值范围是（，）（，+）；（）证明：由（）可得m4，正实数d，b，c满足b+c+d4，所以（d+b）+（d+c）+（b+c）8，（d+b）+（d+c）+（b+c）（+）3+（+）+（+）+（+）3+2+2+29，所以+，当且仅当bcd时等号成立