1、1.3二项式定理1.3.1二项式定理学习目标：1.会证明二项式定理(难点)2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式(重点)教材整理二项式定理阅读教材P26P27例1以上部分，完成下列问题二项式定理及相关的概念二项式定理概念公式(ab)nCanCan1bCan2b2CanrbrCbn(nN)称为二项式定理二项式系数各项系数C(r0,1,2，n)叫做展开式的二项式系数二项式通项Canrbr是展开式中的第r1项，可记做Tr1Canrbr(其中0rn，rN，nN)二项展开式CanCan1bCan2b2CanrbrCbn(nN)备注在二项式定理中，如果设a1，bx，则得到公式(1x)n1CxCx2CxrC
2、xn(nN)判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)(ab)n展开式中共有n项()(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响()(3)Canrbr是(ab)n展开式中的第r项()(4)(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数相同()【解析】(1)因为(ab)n展开式中共有n1项(2)因为二项式的第r1项Canrbr和(ba)n的展开式的第r1项Cbnrar是不同的，其中的a，b是不能随便交换的(3)因为Canrbr是(ab)n展开式中的第r1项(4)因为(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数都是C.【答案】(1)(2)(3)(4)二项式定理的正用、逆用【例1】(1)用二项
3、式定理展开5；(2)化简：C(x1)nC(x1)n1C(x1)n2(1)rC(x1)nr(1)nC.【精彩点拨】(1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解【解】(1)5C(2x)5C(2x)4C532x5120x2.(2)原式C(x1)nC(x1)n1(1)C(x1)n2(1)2C(x1)nr(1)rC(1)n(x1)(1)nxn.1展开二项式可以按照二项式定理进行展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件2对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便3对于化简多个式子的和时，可以考
4、虑二项式定理的逆用对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数1(1)求4的展开式；(2)化简：12C4C2nC.【解】(1)法一：4C(3)4C(3)3C(3)22C(3)3C481x2108x54.法二：4(81x4108x354x212x1)81x2108x54.(2)原式12C22C2nC(12)n3n.二项式系数与项的系数问题【例2】(1)求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求9的展开式中x3的系数【精彩点拨】利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解【解】(1)由已知得二项展开式的通项为Tr1C(2)
5、6rr(1)rC26rx3，T612x.第6项的二项式系数为C6，第6项的系数为C(1)212.(2)Tr1Cx9rr(1)rCx92r，92r3，r3，即展开式中第四项含x3，其系数为(1)3C84.1二项式系数都是组合数C(r0,1,2，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念2第r1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(12x)7的展开式中，第四项是T4C173(2x)3，其二项式系数是C35，而第四项的系数是C23280.2(12x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系
6、数最大的项和系数最大的项【解】T6C(2x)5，T7C(2x)6，依题意有C25C26，n8.(12x)n的展开式中，二项式系数最大的项为T5C(2x)41 120x4.设第r1项系数最大，则有5r6.r5或r6(r0,1,2，8)系数最大的项为T61 792x5，T71 792x6.求展开式中的特定项探究问题1如何求4展开式中的常数项？【提示】利用二项展开式的通项Cx4rCx42r求解，令42r0，则r2，所以4展开式中的常数项为C6.2(ab)(cd)展开式中的每一项是如何得到的？【提示】(ab)(cd)展开式中的各项都是由ab中的每一项分别乘以cd中的每一项而得到3如何求(2x1)3展开
7、式中含x的项？【提示】(2x1)3展开式中含x的项是由x中的x与分别与(2x1)3展开式中常数项C1及x2项C22x212x2分别相乘再把积相加得xCC(2x)2x12x13x.即(2x1)3展开式中含x的项为13x.【例3】已知在n的展开式中，第6项为常数项(1)求n；(2)求含x2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项【精彩点拨】【解】通项公式为：Tr1Cx(3)rxC(3)rx.(1)第6项为常数项，r5时，有0，即n10.(2)令2，得r(106)2，所求的系数为C(3)2405.(3)由题意得，令k(kZ)，则102r3k，即r5k.rZ，k应为偶数，k2,0，2，即r2,5,8，所
8、以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，61 236,295 245x2.1求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第k项，TrCanr1br1；(2)求含xr的项(或xpyq的项)；(3)求常数项；(4)求有理项2求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致3(1)在(1x3)
9、(1x)10的展开式中，x5的系数是_(2)若6展开式的常数项为60，则常数a的值为_【解析】(1)x5应是(1x)10中含x5项、含x2项分别与1，x3相乘的结果，其系数为CC(1)207.(2)6的展开式的通项是Tr1Cx6r()rx2rCx63r()r，令63r0，得r2，即当r2时，Tr1为常数项，即常数项是Ca，根据已知得Ca60，解得a4.【答案】(1)207(2)41在(x)10的展开式中，含x6的项的系数是()A27CB27CC9C D9C【解析】含x6的项是T5Cx6()49Cx6.【答案】D2在8的展开式中常数项是()A28 B7C7 D28【解析】Tr1C8rr(1)rC8rx，当8r0，即r6时，T7(1)6C27.【答案】C3(2019全国卷)(12x2)(1x)4的展开式中x3的系数为()A12 B16C20 D24【解析】展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C2C4812.【答案】A4在6的展开式中，中间项是_【解析】由n6知中间一项是第4项，因T4C(2x2)33C(1)323x3，所以T4160x3.【答案】160x35求5的展开式的第三项的系数和常数项【解】T3C(x3)32Cx5，所以第三项的系数为C.通项Tr1C(x3)5rrrCx155r，令155r0，得r3，所以常数项为T4C(x3)23.