1、45.3函数模型的应用必备知识探新知基础知识知识点1 指数函数与对数函数模型指数函数模型ybaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数函数模型ymlogaxn(m，a，n为常数，m0，a0且a1)知识点2 解函数应用题的基本思路与步骤1建立函数模型解决实际问题的基本思路2建立函数模型解决实际问题的解题步骤某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为x，因变量为y.它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案具体解题步骤为：第一步，审题，引进数学符号，建立数学模型了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定第二步，求解数学模型利用数学知
2、识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答第三步，转译成实际问题的解知识点3 拟合函数模型问题定量分析和研究实际问题时，要深入调查、研究、了解对象信息，作出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子(也就是数学模型)，然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题这个建立数学模型的全过程，就称为数学建模根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型，并求出函数解析式，再进行拟合、比较，选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合)1建立拟合函数模型的步骤(1)收集数据(2)根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特
3、征的函数模型(4)选择其中的几组数据求出函数模型(5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤(3)，若符合实际，则进入下一步(6)用所得函数模型解释实际问题2建立拟合函数模型的一般流程根据建立拟合函数模型的步骤，我们用如图来表示建立拟合函数模型的一般流程基础自测1某厂2008年的产值为a万元，预计产值每年以n%的速度递增，则该厂到2020年的产值(单位：万元)是(B)Aa(1n%)13Ba(1n%)12Ca(1n%)11Da(1n%)12解析2008年的产值为a万元，2009年的产值为aan%a(1n%)，2010年的产值为a(1n%)a(1n%)
4、n%a(1n%)2，2020年的产值为a(1n%)12.2某种细菌经30分钟个数变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为yekt，其中k为常数，t表示时间(单位：时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k2ln_2，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1_024解析由题意知，当t时，y2，即2ek，k2ln 2，ye2tln 2.当t5时，ye25ln 22101 024.即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.3某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为yalog2(x1)，设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到300只解析由题意，繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为yalog
5、2(x1)，这种动物第1年有100只，所以100alog2(11)，所以a100，所以y100log2(x1)，所以当x7时y100log2(71)1003300.4某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：x1.99345.18y0.991.582.012.353.00现有如下5个模拟函数：y0.58x0.16；y2x3.02；yx25.5x8; ylog2x；y()x1.74.请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选(填序号)解析画出散点图如图所示：由图可知上述散点大致在函数ylog2x上，故函数ylog2x可以近似地反映这些数据的规律关键能力攻重难题
6、型探究题型一一次函数、二次函数、分段函数模型例1 某市“网约车”的现行计价标准是：路程在2 km以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km后的路程按1.9元/km收取，但超过10 km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9(150%)2.85元/km)(1)将某乘客搭乘一次“网约车”的费用 f(x)(单位：元)表示为行程x(038.8，所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱归纳提升1.利用二次函数求最值的方法及注意点(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、提元法及利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题(2)注意：取得最
7、值时的自变量与实际意义是否相符2应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围最后比较再下结论【对点练习】 某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：H(x)其中x是仪器的月产量(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？ (总收入总成本利润)解析(1)设每月产量为x台，则总成本为t10 000100x.又f(x)H(x)t，f(x)(2)当0
8、x200时，f(x)(x150)212 500，所以当x150时，有最大值12 500；当x200时，f(x)30 000100x是减函数，f(x)30 0001002000且a1，m0)，在实际问题中，有关人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示(2)指数型、对数型函数应用题的解题思路：依题意，找出或建立数学模型，依实际情况确立解析式中的参数，依题设数据解决数学问题，得出结论【对点练习】 目前某县有100万人经过x年后为y万人如果年平均增长率是1.2%.请回答下列问题：(1)写出y关于x的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大
9、约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)解析(1)当x1时，y1001001.2%100(11.2%)当x2时，y100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2；当x3时，y100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)3；故y关于x的函数解析式为y100(11.2%)x(xN*)(2)当x10时，y100(11.2%)101001.01210112.7，故10年后该县人口总数约有112.7万人(3)设x年后该县人口总数将达到120万人，即y100(11.2%)x120，解得xlog1.01216.故大约16年后该县的人口总数将达到
10、120万人题型三对数函数模型的应用例3有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数vlog3lg x0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0代表测量过程中某类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：lg 20.30，31.23.74，31.44.66)(1)当x02，候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时，候鸟的飞行速度是多少km/min?(2)当x05，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？(3)若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min，同类雌鸟的飞行速度为1.5 km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗
11、氧量的多少倍？分析(1)将x0，x代入解析式求速度(2)利用候鸟休息的速度为0解题(3)利用对数运算，两式相减构成耗氧量的商解析(1)由题意，x02，x8 100，得vlog3lg 21.7，故此时候鸟的飞行速度为1.7 km/min.(2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0，可得，0log3lg 5，即log32lg 5，解得：x466，故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量为466个单位(3)设雄鸟的耗氧量为x1，雌鸟的耗氧量为x2，由题意得：两式相减可得1log3，解得：9，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍归纳提升对数型函数问题的类型及解法(1)对数型函数模型：ymlog
12、axc(m0，a0且a1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解(2)对数型函数应用题的解题思路：依题意，找出或建立数学模型，依实际情况确立解析式中的参数，依题设数据解决数学问题，得出结论【对点练习】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)与其耗氧量单位数Q之间的关系可以表示为函数vklog3b，其中k，b为常数已知一条鲑鱼在静止时的耗氧量为100个单位；而当它的游速为1.5 m/s时，其耗氧量为2 700个单位(1)求出游速v与其耗氧量单位数Q之间的函数解析式；(2)求当一条鲑鱼的游速不高于2.5 m/s时，其耗氧量至多需
13、要多少个单位解析(1)由题意可得解得k，b0，所以游速v与其耗氧量单位数Q之间的函数解析式vlog3.(2)由题意，有log32.5，即log35，所以log3log335，由对数函数的单调性有035，解得0Q24 300，故当一条鲑鱼的游速不高于2.5 m/s时，其耗氧量至多需要24 300个单位误区警示忽视实际问题对定义域的限制致误例4生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数现知一企业生产某种商品的数量为x(件)时的成本函数为y102x2x2(万元)，如果售出一件商品的价格是20万元，那么该企业所能获取的最大利润是多少？错解设该企业所能获取的最大利润为z万元，则
14、z20x(102x2x2)，即z2x218x102(x4.5)230.5，故z的最大值为30.5，即该企业所能获取的最大利润为30.5万元错因分析题目中的条件已经暗示了x为自然数，而该错解中却是在x4.5时取到的最大值30.5，这种情况在实际中是无法操作的正解设该企业所能获取的最大利润为z万元，则z20x(102x2x2)(xN)，即z2x218x102(x4.5)230.5，故当x4或5时，z取最大值30，即该企业生产4件或5件商品时所取得的利润最大，为30万元BBBB学科素养二分法的数学思想方法是将方程的根看作函数的零点，利用连续函数的性质，将求方程根的问题转化为计算函数值，逐步逼近零点，
15、体现了函数与方程的思想，转化思想，数形结合思想及数学推理例5已知函数f(x)lnx2x6.(1)证明：f(x)有且仅有一个零点；(2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于.解析(1)函数ylnx，y2x6在(0，)上都是增函数，f(x)lnx2x6在(0，)上是增函数，f(x)至多有一个零点，由f(2)ln220，f(2)f(3)0，f(x)在(2，3)内至少有一个零点，f(x)有且仅有一个零点(2)f(2)0，取x1，f()ln56ln10，f(3)f()0，f()f()0，x0(，)|，满足题意的区间为(，)课堂检测固双基1如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可
16、能的函数模型为(A)x45678910y18212427303336A一次函数模型B二次函数模型C指数函数模型D对数函数模型解析随着自变量每增加1，函数值增加3，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型2当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是(D)Ay3xBylog3xCyx3Dy3x解析几种函数模型中指数函数增长最快3某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数yf(x)的图象大致是(D)解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意axa(10.104)y，故ylog1.104x(x1)，所以yf(x)的图象大致为D中图象4某商场在销售空调旺季的4天内的利润如表所示.时间1234利润(千元)23.988.0115.99现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的(B)Aylog2xBy2xCyx2Dy2x解析逐个检验可得答案为B5某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)40QQ2，则总利润L(Q)的最大值是2_500万元解析每生产一单位产品，成本增加10万元，单位产品数Q时的总成本为2 00010Q万元，K(Q)40QQ2，利润L(Q)40QQ210Q2 000(Q300)22 500Q300时，利润L(Q)的最大值是2 500万元