1、第三章三角函数、解三角形第八节解三角形的实际应用课时规范练A组基础对点练1已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得ABC120，则A，C两地间的距离为()A10 kmB10 kmC10 km D10 km解析：如图所示，由余弦定理可得：AC210040021020cos 120700，AC10(km)答案：D2(2020江西南昌模拟)已知台风中心位于城市A东偏北(为锐角)的150 km处，以v km/h沿正西方向快速移动，2.5 h后到达距城市A西偏北(为锐角)的200 km处，若cos cos ，则v()A60 B80C100 D125解析：如图所示，台风中
2、心为B，2.5 h后到达点C，则在ABC中，ABsin ACsin ，即sin sin ，又cos cos ，sin2cos2sin2cos21sin2cos2，解得sin ，cos ，sin ，cos ，cos()cos cos sin sin 0，BC2AB2AC2，(2.5v)215022002，解得v100，故选C.答案：C3如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A240(1)m B180(1)mC120(1)m D30(1)m解析：tan 15tan(6045)2，BC60tan 6060tan 15120
3、(1)(m)，故选C.答案：C4某位居民站在离地20 m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60，小高层底部的俯角为45，那么这栋小高层的高度为()A20(1)m B20(1)mC10()m D20()m解析：如图，设AB为阳台的高度，CD为小高层的高度，AE为水平线由题意知AB20 m，DAE45，CAE60，故DE20 m，CE20 m所以CD20(1)m.故选B.答案：B5(2020临川模拟)如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：测量A，C，b；测量a，b，C；测量
4、A，B，a，则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为()A BC D解析：对于可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离，对于直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离答案：D6某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行15 km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是()A5 km B10 kmC5 km D5 km解析：作出示意图(如图)，点A为该船开始的位置，点B为灯塔的位置，点C为该船后来的位置，所以在ABC中，有BAC603030，B120，AC15，由正弦定理，得，即BC5，即这时船与灯塔的距离是5 km.答案：C7(2020广西五校联考)一艘海轮从
5、A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10 海里 B10 海里C20 海里 D20 海里解析：画出示意图如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30，ABC4065105，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里)答案：A8台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为()A0.5小时 B1小时C1.5小时 D2小时解
6、析：根据题意画出相应的图形，如图所示BEBF30 km，ABD为等腰直角三角形且AB40 km，由勾股定理得ADBD20 km，由BDAD，可得EDDF，在RtBED中，由勾股定理得ED10 km，所以EF2ED20 km，因此B市处于危险区内的时间为20201(h)答案：B9如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距8 n mile.此船的航速是_ n mile/h.解析：设航速为v n mile/h，在ABS中，ABv，BS8 n mile，BSA45，由正弦定理，得，所以
7、v32.答案：3210如图，在四边形ABCD中，已知ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，则BC的长为_解析：在ABD中，设BDx，则BA2BD2AD22BDADcosBDA，即142x2102210xcos 60，整理得x210x960，解得x116，x26(舍去)在BCD中，由正弦定理：，所以BCsin 308.答案：8B组素养提升练11. (2020西安模拟)游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙
8、走线路1，最后他们同时到达C处经测量，AB1 040 m，BC500 m，则sinBAC等于_解析：依题意，设乙的速度为x m/s，则甲的速度为x m/s，因为AB1 040，BC500，所以，解得：AC1 260，在ABC中由余弦定理可知cosBAC，所以sinBAC .答案：12.(2020衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30，塔底C与A的连线同河岸成15角，小王向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60角，则电视塔CD的高度为_解析：在ACM中，MCA601545，AMC18060120，由正弦定理得，即，解得AC600
9、.在RtACD中，因为tanDAC，所以DCACtanDAC600600(m)答案：600 m13.如图，在ABC中，ABC90，AB，BC1，P为ABC内一点，BPC90.(1)若PB，求PA；(2)若APB150，求tanPBA.解析：(1)由已知得PBC60，所以PBA30.在PBA中，由余弦定理得PA232cos 30.故PA.(2)设PBA，由已知得PBsin .在PBA中，由正弦定理得，化简得cos 4sin .所以tan ，即tanPBA.14如图，现要在一块半径为1 m，圆心角为的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设BOP，平行四边形MNPQ的面积为S.(1)求S关于的函数关系式；(2)求S的最大值及相应的角解析： (1)分别过P，Q作PDOB于点D，QEOB于点E，则四边形QEDP为矩形由扇形半径为1 m，得PDsin ，ODcos .在RtOEQ中，OEQEPD，MNQPDEODOEcos sin ，SMNPDsin sin cos sin2，.(2)Ssin 2(1cos 2)sin 2cos 2sin，因为，所以2，sin.当时，Smax(m2)