1、高考资源网（） 您身边的高考专家合情推理1归纳推理的特点及一般步骤2类比推理的特点及一般步骤【例1】观察式子：1，1，1，由此可归纳出的式子为()A1B1C1D1(2)两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin sin()0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin sinsin0，由此可以推知，四点等分单位圆时的相应正确关系为_思路探究(1)观察各式特点，找准相关点，归纳即得(2)观察各角的正弦值之间的关系得出结论解析(1)由各式特点，可得10，b0，ab1，求证：8.试用综合法和分析法分别证明思路探究(1)综合法：根据ab1，分别求与的最小值(2)分析法：把变形为求证解法一：(综合法)a0，
2、b0，ab1，1ab2，ab，4.又(ab)24，8(当且仅当ab时等号成立)法二：(分析法)a0，b0，ab1，要证8，只要证8，只要证8，即证4.也就是证4.即证2，由基本不等式可知，当a0，b0时，2成立，所以原不等式成立2(1)已知a，b，c为互不相等的非负数求证：a2b2c2()(2)用分析法证明：2cos().解(1)因为a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，又因为a，b，c为互不相等的非负数，所以上面三个式子中都不能取“”，所以a2b2c2abbcac，因为abbc2，bcac2，abac2，又a，b，c为互不相等的非负数，所以abbcac()，所以a2b2c2()(2
3、)要证原等式成立，只需证：2cos()sin sin(2)sin ，因为左边2cos()sin sin()2cos()sin sin()cos cos()sin cos()sin sin()cos sin 右边，所以成立，即原等式成立.反证法反证法是间接证明的一种基本方法，用反证法证明时，假定原结论的对立面为真，从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定结论反证法的思路：反设归谬结论【例3】设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明：数列an1不是等比数列思路探究(1)利用等比数列的概念及通项公式推导前n项和公式；(2
4、)利用反证法证明要证的结论解(1)设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)证明：假设an1是等比数列，则对任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1不是等比数列3设an，bn是公比不相等的两个等比数列，cnanbn.证明：数列cn不是等比数列证明假设数列cn是等比数列，则
5、(anbn)2(an1bn1)(an1bn1)因为an，bn是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，所以aan1an1，bbn1bn1代入并整理，得2anbnan1bn1an1bn1anbn，即2，当p，q异号时，2，与相矛盾故数列cn不是等比数列.数学归纳法1关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少2关注点二：由nk到nk1时，除等式两边变化的项外还要利用nk时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明【例4】已知正数数列an(nN)中，前n项和为Sn，且2Sna
6、n，用数学归纳法证明：an.解(1)当n1时，a1S1，所以a1(an0)，所以a11，又1，所以n1时，结论成立(2)假设nk(k1，kN)时，结论成立，即ak.当nk1时，ak1Sk1Sk，所以a2ak110，解得ak1(an0)，所以nk1时，结论成立由(1)(2)可知，对nN都有an.4设数列an的前n项和Sn(nN)，a22.(1)求an的前三项a1，a2，a3；(2)猜想an的通项公式，并证明解(1)由Sn，得a11，又由a22，得a33.(2)猜想：ann.证明如下：当n1时，猜想成立假设当nk(k2)时，猜想成立，即akk，那么当nk1时，ak1Sk1Sk.所以ak1k1，所以
7、当nk1时，猜想也成立根据知，对任意nN，都有ann.转化与化归思想转化与化归是数学思想方法的灵魂在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化；数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化；反证法体现的是对立与统一的转化【例5】设二次函数f(x)ax2bxc(a0)中的a，b，c都为整数，已知f(0)，f(1)均为奇数，求证：方程f(x)0无整数根思路探究假设方程f(x)0有整数根k，结合f(0)，f(1)均为奇数推出矛盾解假设方程f(x)0有一个整数根k，则ak2bkc0，f(0)c，f(1)abc都为奇数，ab必为偶数，ak2bk为奇数当k为偶数时，令k2n(nZ)，则ak2bk
8、4n2a2nb2n(2nab)必为偶数，与ak2bk为奇数矛盾；当k为奇数时，令k2n1(nZ)，则ak2bk(2n1)(2naab)为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与ak2bk为奇数矛盾综上可知，方程f(x)0无整数根5用数学归纳法证明：当n为正奇数时，xnyn能被xy整除证明设n2m1，mN，则xnynx2m1y2m1要证明原命题成立，只需证明x2m1y2m1能被xy整除(mN)(1)当m1时，x2m1y2m1xy能被xy整除(2)假设当mk(kN)时命题成立，即x2k1y2k1能被xy整除，那么当mk1时，x2(k1)1y2(k1)1x2k21y2k21x2k1x2x2k1y2y2k1
9、y2x2k1y2x2k1(x2y2)y2(x2k1y2k1)x2k1(xy)(xy)y2(x2k1y2k1)因为x2k1(xy)(xy)与y2(x2k1y2k1)均能被xy整除，所以当mk1时，命题成立由(1)(2)，知原命题成立1甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则()A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩解析由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个
10、优秀，1个良好”乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩故选D.答案D2袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半甲、乙、丙是三个空盒每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C乙盒中红球不多于丙盒中红球D乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析通过随机事件直
11、接分析出现情况的可能性取两个球往盒子中放有4种情况：红红，则乙盒中红球数加1；黑黑，则丙盒中黑球数加1；红黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；黑红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1因为红球和黑球个数一样多，所以和的情况一样多，和的情况完全随机和对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响和出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样综上，选B.答案B3观察下列各式：C40；CC41；CCC42；CCCC43；照此规律，当nN时，CCCC_.解析观察每行等式的特点，每行等式的右端都是幂的形式，底数均为4，指数与等式左端最后一个组合数的上标相
12、等，故有CCCC4n1答案4n14ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ABC的面积为.(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C1，a3，求ABC的周长解(1)由题设得acsin B，即csin B.由正弦定理得sin Csin B.故sin Bsin C.(2)由题设及(1)得cos Bcos Csin Bsin C，即cos(BC).所以BC，故A.由题意得bcsin A，a3，所以bc8.由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9.由bc8，得bc.故ABC的周长为3.5如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的
13、点(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值解(1)由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.当三棱锥MABC体积最大时，M为的中点由题设得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，M(0,1,1)，(2,1,1)，(0,2,0)，(2,0,0)设n(x，y，z)是平面MAB的法向量，则即可取n(1,0,2).是平面MCD的法向量，因为cosn，sinn，.所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.- 13 - 版权所有高考资源网