1、第2课时函数的最大(小)值必备知识探新知基础知识知识点 函数的最大值和最小值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M(或m)满足条件(1)xI，都有f(x)M；(2)_x0I，使得f(x0)M_(3)xI，都有f(x)m；(4)x0I，使得f(x0)m结论M为函数yf(x)的最大值m为函数yf(x)的最小值思考：函数的最值与值域有怎样的关系？提示：联系：函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整个定义域区别：(1)函数的值域一定存在，函数的最值不一定存在(2)若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素(3)若单调函数的值域是开区间，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的
2、端点值就是函数的最值基础自测1在函数yf(x)的定义域中存在无数个实数x满足f(x)M，则(D)A函数yf(x)的最小值为MB函数yf(x)的最大值为MC函数yf(x)无最小值D不能确定M是函数yf(x)的最小值解析根据函数最值的定义，易知选D2函数y|x|在R上(A)A有最大值0，无最小值B无最大值，有最小值0C既无最大值，又无最小值D以上都不对解析函数y|x|在(，0上递增，在(0，)上递减，当x0时，y取最大值0，无最小值3若定义在区间(0,3上的函数yf(x)是减函数，则它的最大值(D)A是f(0)B是f(3)C是0 D不存在解析yf(x)在区间(0,3上是减函数，当x3时，f(x)取
3、最小值f(3)，f(x)无最大值故选D4函数y在2,3上的最小值为_，最大值为_；在3，2上的最小值为_，最大值为_解析函数y在区间2,3上单调递减，ymin，ymax；在区间3，2上单调递减，ymin，ymax关键能力攻重难题型探究题型一利用图象求最值例1已知函数f(x)，求函数f(x)的最值分析可作出分段函数的图象，利用图象法求函数最值解析作出f(x)的图象如图：由图象可知，当x1时，f(x)取最小值1，无最大值归纳提升利用图象法求函数最值的一般步骤是：【对点练习】 (2021汉中高一检测)已知函数f(x)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象解析由题意知，当x1,2时，f(x)x
4、23，为二次函数的一部分；当x(2,5时，f(x)x3，为一次函数的一部分；所以，函数f(x)的图象如图所示：题型二利用单调性求最值例2已知函数f(x)(1)求证：f(x)在3,5上为增函数；(2)求f(x)在3,5上的最大值和最小值分析利用函数单调性来求函数最值，即先判断函数的单调性，再求最值解析(1)证明：任取x1，x23,5且x1x2，则f(x1)f(x2)x1，x23,5且x1x2，x1x20，x120，x220，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，函数f(x)在x3,5上为增函数(2)由(1)知，当x3时，函数f(x)取得最小值为f(3)，当x5时，函数f(x)取得最大值为
5、f(5)归纳提升1利用函数单调性求最值的一般步骤：(1)判断函数的单调性(2)利用单调性写出最值2利用单调性求最值的三个常用结论(1)如果函数f(x)在区间a，b上是增(减)函数，则f(x)在区间a，b的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值(2)如果函数f(x)在区间(a，b上是增函数，在区间b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)(3)如果函数f(x)在区间(a，b上是减函数，在区间b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)【对点练习】 已知函数f(x)，x3，2，求函数的最大值和最小值解析设3x1x22，则f(x1)f(x2)
6、3x1x22，x1x20，x110，x210f(x1)f(x2)0，所以f(x1)f(x2)函数f(x)，x3，2是增函数又f(2)4，f(3)3，函数的最大值是4，最小值是3题型三二次函数的最值例3已知函数f(x)x2ax1，(1)求f(x)在0,1上的最大值；(2)当a1时，求f(x)在闭区间t，t1(tR)上的最小值解析(1)因为函数f(x)x2ax1的图象开口向上，其对称轴为x，所以区间0,1的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，当，即a1时，f(x)的最大值为f(1)2a；当，即a1时，f(x)的最大值为f(0)1(2)当a1时，f(x)x2x1，其图象的对称轴为x当t时，
7、f(x)在t，t1上是增函数，f(x)minf(t)t2t1；当t1，即t时，f(x)在t，t1上是减函数，f(x)minf(t1)t2t1；当tt1，即t时，函数f(x)在t，上单调递减，在，t1上单调递增，所以f(x)minf()归纳提升1含参数的二次函数最值问题的解法解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为ya(xh)2k的形式，再依a的符号确定抛物线的开口方向，依对称轴xh得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值2对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值
8、；(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论【对点练习】 已知二次函数f(x)x22x3(1)当x2,0时，求f(x)的最值；(2)当x2,3时，求f(x)的最值；(3)当xt，t1时，求f(x)的最小值g(t)解析f(x)x22x3(x1)22，其对称轴为x1，开口向上(1)当x2,0时，f(x)在2,0上是减函数，故当x2时，f(x)有最大值f(2)11；当x0时，f(x)有最小值f(0)3(2)当x2,3时，f(x)在2,3上先递减后递增，故当x1时，f(x)有最小值f(1)2又|21|31|，f(x)的最大值为f(2)11(3)当t
9、1时，f(x)在t，t1上是增函数，所以当xt时，f(x)取得最小值，此时g(t)f(t)t22t3当t1t1，即0t1时，f(x)在t，t1上先递减后递增，故当x1时，f(x)取得最小值，此时g(t)f(1)2当t11，即t0时，f(x)在t，t1上是减函数，所以当xt1时，f(x)取得最小值，此时g(t)f(t1)t22，综上得g(t)误区警示混淆“单调区间”和“区间上单调”例4若函数f(x)x22(a1)x2的单调递减区间是(，4，则实数a的取值集合为_3_错解函数f(x)图象的对称轴为直线x1a，由于函数在区间(，4上单调递减，因此1a4，即a3故填a3错因分析导致上述错解的原因是把“
10、单调区间”误认为是“在区间上单调”正解因为函数的单调递减区间为(，4，所以1a4，即a3故实数a的取值集合是3方法点拨单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间所以我们在解决函数的单调性问题时，不能混淆在区间D上单调和区间D上是单调函数这两个不同的概念学科素养逻辑推理抽象函数例5已知函数f(x)的定义域是(0，)，f(xy)f(x)f(y)，对任意x，y(0，)都成立当x1时， f(x)0(1)求f(1)；(2)求证：f(x)在定义域上是增函数；(3)如果f()1，求满足不等式f(x)f(x2
11、)2的x的取值范围分析(1)由于f(xy)f(x)f(y)对任意x，y(0，)都成立，故可给x、y赋值产生f(1)(2)欲证f(x)在(0，)上为增函数，需证对任意x1，x2(0，)且x1x2，有f(x1)f(x2)0结合已知条件x1时， f(x)0，这里1f()0，即f(x2)f(x2)f()0，于是在f(xy)f(x)f(y)中令y可得f(x)f()0，从而f()f(x)从而有f(x2)f(x1)f(x2)f()f()0，即可沟通条件与结论(3)利用(2)和条件f()1可得f(3)，求得f(m)2，将不等式f(x)f(x2)2化为f(x)f(x2)f(m)的形式结合条件即可得f(x)fm(
12、x2)，再利用单调性脱去符号“f”即可求解莫忘定义域的限制解析(1)令xy1，得f(1)2f(1)，故f(1)0(2)证明：令y，得f(1)f(x)f()0，故f()f(x)任取x1，x2(0，)，且x1x2，则f(x2)f(x1)f(x2)f()f()由于1，故f()0，从而f(x2)f(x1)f(x)在(0，)上是增函数(3)由于f()1，而f()f(3)，故f(3)1在f(xy)f(x)f(y)中，令xy3，得f(9)f(3)f(3)2故所给不等式可化为f(x)f(x2)f(9)，f(x)f9(x2)，x，又，2x，x的取值范围是(2，归纳提升处理抽象函数问题的基本方法是赋值法在本题的求
13、解中，根据所给式子f(xy)f(x)f(y)进行适当的赋值或配凑该式及由该式推出的f()f(x)可作为推理依据课堂检测固双基1下列函数在1,4上最大值为3的是(A)Ay2By3x2Cyx2 Dy1x解析利用函数的单调性可知，A正确2函数f(x)在2,2上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(C)Af(2)，0B0,2Cf(2)，2 Df(2)，2解析由图象可知，当x2时，f(x)取最小值f(2)，当x1时，f(x)取最大值f(1)2，故选C3函数f(x)2x1(x2,2)的最小、最大值分别为(B)A3,5 B3,5C1,5 D5，3解析函数f(x)在2,2上单调递减，f(x)minf(2)3，f(x)maxf(2)54(2021湖南衡阳高一期末测试)已知函数f(x)，x2,6，则f(x)的最大值为_2_解析设任意x1，x22,6，且x1x2，f(x2)f(x1)，x1，x22,6，x210，x110，又x1x2，x1x20，0，f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)，f(x)，x2,6为减函数，f(x)maxf(2)25已知函数f(x)，求f(x)的最大值解析当1x2时，f(x)2x6，f(x)在1,2上单调递增，f(x)maxf(2)10当4x1时， f(x)7x，f(x)在4,1)上单调递减，f(x)maxf(4)11综上可知f(x)maxf(4)11