1、2.3二次函数与一元二次方程、不等式【素养目标】1理解一元二次方程与二次函数的关系(数学抽象)2掌握图象法解一元二次不等式(直观想象)3会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型(数学抽象)4会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式(数学运算)5会用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式(逻辑推理)6会解一元二次不等式中的恒成立问题(数学运算)【学法解读】在从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式的学习中，可以先以讨论具体的一元二次函数变化情况为情境，使学生发现一元二次函数与一元二次方程的关系，引出一元二次不等式的概念；然后进一步探索一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，归纳
2、总结出用一元二次函数解一元二次不等式的程序第1课时二次函数与一元二次方程、不等式必备知识探新知基础知识知识点1 一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为_一元二次不等式_一元二次不等式的一般形式是：_ax2bxc0(a0)_或_ax2bxc0(a0)_思考1：(1)不等式x20是一元二次不等式吗？(2)一元二次不等式的一般形式中“a0”可以省略吗？提示：(1)不是，一元二次不等式一定为整式不等式(2)不可以，若a0，就不是二次不等式知识点2 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系b24ac000yax2bxc(a0)的图象ax2bxc0(a0)的根有两
3、个不相等的实数根x1，x2(x1x2)有两个相等的实数根x1x2无实数根ax2bxc0(a0)的解集x|xx2或xx1x|xRax2bxc0(a0)的解集x|x1xx2思考2：如何用图解法解一元二次不等式？提示：图解法解一元二次不等式的一般步骤：(1)将原不等式化为标准形式ax2bxc0或ax2bxc0(a0)；(2)求b24ac；(3)若0，根据二次函数的图象直接写出解集；(4)若0，求出对应方程的根，画出对应二次函数的图象，写出解集基础自测1判断正误(对的打“”，错的打“”)(1)mx25x0是一元二次不等式()(2)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R
4、()(3)设二次方程f(x)0的两解为x1，x2，且x1x2，则一元二次不等式f(x)0的解集不可能为x|x1xx2()(4)不等式ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)的解集为空集，则方程ax2bxc0无实根()解析(1)当m0时，是一元一次不等式；当m0时，它是一元二次不等式(2)若方程ax2bxc0(a0)没有实根则不等式ax2bxc0的解集为(3)当二次项系数小于0时，不等式f(x)0的解集为x|x1xx2(4)当0时，一元二次不等式的解集为空集，此时方程无实根2不等式x22的解集是_x|x_3不等式(2x5)(x3)0的解集为_x|3x_解析将原不等式转化为或，3x关键能力攻
5、重难题型探究题型一解一元二次不等式例1解下列不等式(1)2x23x20；(2)x24x40；(3)x22x30；(4)3x25x20分析根据三个二次之间的关系求解即可解析(1)因为0，方程2x23x20的根是x1，x22，所以不等式2x23x20的解集为x|x或x2(2)因为0，方程x24x40的根是x1x22，所以不等式x24x40的解集为x|x2(3)原不等式可化为x22x30，由于0，方程x22x30无解，所以不等式x22x30的解集为R(4)原不等式可化为3x25x20，由于0，方程3x25x20的两根为x1，x21，所以不等式3x25x20的解集为x|x1归纳提升解一元二次不等式的步
6、骤(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)的形式(2)计算相应的判别式(3)当0时，求出相应的一元二次方程的根(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集【对点练习】 (1)已知集合Mx|3x5，Nx|x22x80，则MN(C)Ax|2x5Bx|3x4Cx|2x4 Dx|3x5(2)函数y的自变量的取值范围是(C)Ax|x4或x3 Bx|4x3Cx|x4或x3 Dx|4x3(3)下列不等式中解集为R的是(C)A2x23x20 Bx24x40Cx24x50 D3x25x20题型二三个“二次”的关系例2已知一元二次不等式
7、x2pxq0的解集为x|x，求p，q的值并求不等式qx2px10的解集分析由一元二次不等式的解集，可得相应二次函数与x轴的交点，再利用根与系数的关系求待定系数解析因为x2pxq0的解集为x|x，所以x1与x2是方程x2pxq0的两个实数根，由根与系数的关系得解得所以不等式qx2px10即为x2x10，整理得x2x60，解得2x3即不等式qx2px10的解集为x|2x3归纳提升注意已知条件的含义和根与系数关系的应用：一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根由一元二次方程根与系数的关系列方程组求参数【对点练习】 若不等式ax2bxc0的解集为x|x3或x4，求不等式bx22axc3b0
8、的解集解析因为不等式ax2bxc0的解集为x|x3或x4，所以a0，且3,4是方程ax2bxc0的两根，由根与系数的关系可得，即所以不等式bx22axc3b0可化为ax22ax15a0，即x22x150，解得x3或x5，故所求不等式的解集为x|x3或x5题型三解含有参数的一元二次不等式(对判别式的讨论)例3解关于x的不等式2x2ax20分析二次项系数为2，a216不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式的符号进行讨论，确定根的个数解析对于方程2x2ax20，其判别式a216(a4)(a4)当a4或a4时，0，方程2x2ax20的两根为x1(a)，x2(a)，原不等式的解集为x|x
9、(a)或x(a)当a4时，0，方程有两个相等实根，x1x21，原不等式的解集为x|x1当a4时，0，方程有两个相等实根，x1x21，原不等式的解集为x|x1当4a4时，0，方程无实根，故原不等式的解集为R归纳提升在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项的系数a0，a0，a0；(2)关于不等式对应方程的根的讨论：两根(0)，一根(0)，无根(0)；(3)关于不等式对应方程的根的大小的讨论：x1x2，x1x2，x1x2【对点练习】 解关于x的不等式：x22ax20解析因为4a28，所以0，即a时
10、，原不等式对应的方程无实根又二次函数yx22ax2的图象开口向上，所以原不等式的解集为当0时，即a时，原不等式对应的方程有两个相等实根当a时，原不等式的解集为x|x；当a时，原不等式的解集为x|x当0，即a或a时，原不等式对应的方程有两个不等实数，分别为x1a，x2a，且x1x2，所以原不等式的解集为x|axa综上所述，当a时，原不等式的解集为；当a时，原不等式的解集为x|x；当a时，原不等式的解集为x|x；当a或a时，原不等式的解集为x|axa题型四解含有参数的一元二次不等式(对根的大小的讨论)例4解关于x的不等式x2(1a)xa0解析方程x2(1a)xa0的解为x11，x2a，函数yx2(
11、1a)xa的图象开口向上，则：当a1时，原不等式解集为x|ax1；当a1时，原不等式解集为；当a1时，原不等式解集为x|1xa【对点练习】 解关于x的不等式：x23ax18a20解析将x23ax18a20变形得(x6a)(x3a)0，方程(x6a)(x3a)0的两根为6a，3a所以(1)当a0时，6a3a，原不等式的解集为x|x3a或x6a(2)当a0时，6a3a0，原不等式的解集为x|x0(3)当a0时，6a3a，原不等式的解集为x|x6a或x3a课堂检测固双基1求下列不等式的解集：(1)(x2)(x3)0；(2)3x27x10；(3)x24x40；(4)x2x0；(5)2x2x3；(6)x
12、23x40解析(1)(x2)(x3)0的两根为x12，x23，所以原不等式的解集为x|x3或x2(2)原不等式等价于(x1)(3x10)0，所以原不等式的解集是x|1x(3)原不等式等价于x24x40，即(x2)20，所以原不等式的解集是x|x2(4)因为x2x(x)20，所以原不等式的解集为(5)原不等式等价于(x1)(2x3)0，所以原不等式的解集是x|x或x1(6)因为x23x4(x)20，所以原不等式的解集为R2当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0?(1)y3x26x2；(2)y25x2；(3)yx26x10；(4)y3x212x12解析(1)使y3x26x2的值等于0的x的取值集合是，；使y3x26x2的值大于0的x的取值范围是x|x或x；使y3x26x2的值小于0的x的值为(2)令25x20，则x5，又由y25x2图象的开口方向向下，故x5时，函数的值等于0，当5x5时，函数值大于0；当x5或x5时，函数值小于0(3)令x26x100，则方程无解，又由yx26x10图象的开口方向朝上，故无论x为何值，函数值均大于0(4)令3x212x120，则x2，又由y3x212x12图象的开口方向朝下，故x2时，函数的值等于0，当x2时，函数值小于0