1、课时分层作业(二十四)直线与平面的夹角(建议用时：60分钟)基础达标练一、选择题1如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，BC1与对角面BB1D1D所成的角是()AC1BB1BC1BDCC1BD1 DC1BOD由线面垂直的判定定理，得C1O平面BB1D1D，所以OB为BC1在平面BB1D1D上的射影，所以C1BO为BC1与平面BB1D1D所成的角，故选D.2PA，PB，PC是由点P出发的三条射线，两两夹角为60，则PC与平面PAB所成角的余弦值为()A. B.C. D.C设PC与平面PAB所成的角为，则cos 60cos cos 30，得cos .3. 已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面
2、边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为()A.B.C.D.C令正四棱锥的棱长为2，建立如图所示坐标系，则A(1，1,0)，D(1，1,0)，S(0,0，)，E，cos，.AE，SD所成的角的余弦值为.4如果APBBPCCPA60，则PA与平面PBC所成角的余弦值为()A. B. C. D.D如图，设A在平面BPC内的射影为O，APBAPC.点O在BPC的角平分线上，OPC30，APO为PA与平面PBC所成的角cosAPCcosAPOcosOPC，即cos 60cosAPOcos 30，cosAPO.5在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，则AB1与C1B所成角的大小
3、为()A60 B90 C105 D75B建立如图所示的空间直角坐标系，设BB11，则A(0,0,1)，B1，C1(0，0)，B.，10，.即AB1与C1B所成角的大小为90.二、填空题6等腰RtABC的斜边AB在平面内，若AC与成30角，则斜边上的中线CM与平面所成的角为_45作CO，O为垂足，连接AO，MO，则CAO30，CMO为CM与所成的角在RtAOC中，设CO1，则AC2.在等腰RtABC中，由AC2得CM.在RtCMO中，sinCMO.CMO45.7如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B和平面A1B1CD所成的角是_30连接BC1交B1C于O点，连接A1O.设正方体棱长
4、为a.易证BC1平面A1B1CD，A1O为A1B在平面A1B1CD上的射影BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角在RtA1BO中，A1Ba，BOa，sinBA1O，BA1O30.即A1B与平面A1B1CD所成角为30.8在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角为_30以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P，从而(2a,0,0)，(a，a,0)设平面PAC的一个法向量为n可求得n(0,1,1)，则cos，n.所以，n60.所以直线BC与平面
5、PAC所成的角为906030.三、解答题9如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成角的正弦值解取BC中点O，B1C1中点O1，连接AO，OO1，则AOOC，OO1平面ABC，以O为坐标原点，OC，OA，OO1所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A，C1，0，a，.取AB中点M，连接CM，则CMAB.平面ABB1A1平面ABC，CM平面ABB1A1，为平面ABB1A1的一个法向量B，M.又C，.cos，.AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为.10如图所示，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，P
6、DA60.(1)求DP与CC所成角的大小；(2)求DP与平面AADD所成角的大小解如图，以D为坐标原点，DA为单位长建立空间直角坐标Dxyz.则(1,0,0)，(0,0,1)连接BD，BD.在平面BBDD中，延长DP交BD于H.设(m，m,1)(m0)，由已知，60，由|cos，可得m.解得m，所以.(1)因为cos，所以，45，即DP与CC所成的角为45.(2)平面AADD的一个法向量是(0,1,0)因为cos，所以，60.可得DP与平面AADD所成的角为30.能力提升练1正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为()A. B.
7、C. D.B建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(1,0,1)，E，F，B1(1,1,1)(0,1,0)，设平面A1EF的法向量n(x，y，z)，则即令y2，则n(1,2,1)，cosn，即线面角的正弦值为.2如图所示，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PDAB1，G为ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角满足()ABcos Ctan Dsin B建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，所以G，.又平面ABCD的一个法向量为n(0,0,1)，则cos，n，所以PG与平面ABCD所成角
8、的余弦值为.3已知三棱锥SABC中，底面为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为_建立如图所示的空间直角坐标系，则S(0,0,3)，A(0，0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)(，1,0)，(，1，3)，(0,2，3)设面SBC的法向量为n(x，y，z)则令y3，则z2，x，n(，3,2)设AB与平面SBC所成的角为，则sin .4如图所示，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为_取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设BC1，则A，B，C，D，0,0
9、，所以，.设平面ABD的法向量为n(x，y，z)，则所以，取x1，则y，z1，所以n(1，1)，所以cosn，因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.5如图所示，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上(1)求证：AC平面PDB；(2)当PDAB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小解(1)证明：四边形ABCD是正方形，ACBD.PD底面ABCD，PDAC.PDBDD，AC平面PDB.(2)建立如图所示的空间直角坐标系，设AB1，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，.由(1)知(1,1,0)为平面PDB的一个法向量设AE与平面PDB所成的角为，则sin |cos，|.AE与平面PDB所成的角为45.