1、-1-3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式-2-3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 学习目标 思维脉络 1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.灵活应用二倍角公式及其变形解决有关化简、求值和证明问题.-3-3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 XINZHI DAOXUE新知导学 首 页 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 1 2 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 三角函数 公式 简记 正弦 sin 2=2sin
2、 cos S2 余弦 cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2 C2 正切 tan 2=2 1-2 T2 -4-3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 XINZHI DAOXUE新知导学 首 页 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 1 2 试一试 1-1已知 cos=14,则 cos 2=()A.12B.-78C.78D.18解析:cos 2=2cos2-1=2 116-1=-78.答案:B-5-3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 XINZHI DAOXUE新知导学 首 页 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DAN
3、GTANG JIANCE当堂检测 1 2 试一试 1-2求值:2sin 6730cos 6730=.解析:由二倍角的正弦公式,得 2sin 6730cos 6730=sin(267.5)=sin 135=22.答案:22-6-3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 XINZHI DAOXUE新知导学 首 页 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 1 2 2.倍角公式常见的变形(1)1sin 2=(sin cos)2;(2)1+cos2=2cos21-cos2=2sin2 升幂公式;(3)cos2=1+cos22sin2=1-cos22 降幂公式.-7
4、-3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 XINZHI DAOXUE新知导学 首 页 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 1 2 试一试 2求下列各式的值:(1)2cos2 12=;(2)sin 8+cos 8 2=.解析:(1)原式=1+cos 2 12=1+cos 6=1+32.(2)原式=1+sin 4=1+22.答案:(1)1+32 (2)1+22-8-3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三
5、探究四 探究一给角求值给角求值问题中,一般所给出的角都是非特殊角,从表面上看十分困难,所以在解题过程中,要注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系,灵活运用公式及其变形,从而使问题迎刃而解.-9-3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 典例提升 1求下列各式的值:(1)sin8cos8;(2)1-2sin2512;(3)tan 121-tan2 12;(4)cos5cos25.思路分析:(1)(2)(3)直接利用公式或逆用公式
6、求值.(4)由5,25 是二倍角关系,从而可构造用二倍角的正弦公式求解.-10-3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 解:(1)原式=12sin4=12 22=24.(2)原式=cos56=cos-6=-cos6=-32.(3)原式=12 2tan 121-tan2 12=12tan6=12 33=36.(4)原式=2sin5cos5cos252sin5=sin25 cos252sin5=sin454sin5=sin54sin5=14.
7、-11-3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 变式训练 1求下列各式的值:(1)cos48-sin48;(2)tan751-tan275;(3)cos 7cos 27cos 47.-12-3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 解:(1)原式=cos2 8+sin2 8 cos2
8、8-sin2 8=cos 4=22.(2)原式=12tan 150=-12tan 30=-36.(3)原式=8sin 7cos 7cos 27cos 478sin 7=4sin 27cos 27cos 478sin 7=2sin 47cos 478sin 7=sin 878sin 7=-sin 78sin 7=-18.-13-3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二给值求值1.从角的关系寻找突破口.这类三角函数求值问题常有两种解题途
9、径:一是对题设条件变形,将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢;另一种是对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢,以便将题设条件代入结论.2.另外,注意几种诱导公式的应用,如:(1)sin 2x=cos 2-2=cos 2 4-=2cos2 4-1=1-2sin2 4-;(2)cos 2x=sin 2-2=sin 2 4-=2sin 4-cos 4-;(3)cos 2x=sin 2+2=sin 2 4+=2sin 4+cos 4+.-14-3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学
10、DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 典例提升 2(1)已知 tan=2,则 tan 2=;(2)已知 02,cos 6+=13,则 sin 3+2=.思路分析:(1)直接用二倍角正切公式求值;(2)观察角6+与3+2 的关系,再选择公式求解.解析:(1)tan=2,tan 2=2tan1-tan2=221-22=-43.(2)02,6+6 23.cos 6+=13,sin 6+=2 23.sin 3+2=sin 2 6+=2sin 6+cos 6+=22 23 13=4 29.答案:(1)-43(2)4 29-15-3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
11、ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 变式训练 2若 sin 2=33,则 cos=()A.-23B.-13C.13D.23解析:cos=1-2sin22=1-2 33 2=13.答案:C-16-3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 典例提升 3已知 sin 4-=35,02,求 sin 2,cos 2 的值.解:sin
12、 4-=35,sin 2=cos 2-2=1-2sin2 4-=1-2 35 2=725.02,-4 4-0,可推得 2 0,2.+2(0,).0,2,且 sin=210,cos=1-sin2=7 210.又2 0,2,且 cos 2=45,sin 2=1-cos22=35.cos(+2)=cos cos 2-sin sin 2=7 210 45 210 35=22.+2=4.-20-3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 变式训练 4已
13、知,是锐角,且 tan=13,tan=17,求 2+的值.解:tan=13,tan 2=2tan1-tan2=231-19=34.由 0,2,且 tan 2=340,得 2 0,2.2+(0,).又 tan(2+)=tan2+tan1-tan2tan=34+171-3417=1,2+=4.-21-3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究四易错辨析易错点:忽略角的范围而导致错误-22-3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 ZHONG
14、NAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 典例提升 5化简:2+2+2cos(23).错解:2+2+2cos=2+2cos 2=2cos4.错因分析:错解中利用倍角公式从里到外去根号时,只是机械地套用公式,而没有考虑角的范围对函数值的影响,从而导致错误.正解:23,2 32,2 4 34.2+2+2cos=2+4cos2 2=2-2cos 2=4sin2 4=2sin4.-23-3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 ZHONGNAN TANJIU重难探究 首 页 XINZHI DAOXU
15、E新知导学 DANGTANG JIANCE当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 点评利用二倍角公式化简 1 cos时,由于 1+cos=2cos22,1-cos=2sin22,则 1+cos=2 cos 2,1-cos=2 sin 2,因此要根据2的终边所在象限确定 sin2,cos2的符号,从而去掉绝对值符号,保持恒等变形.-24-3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 DANGTANG JIANCE当堂检测 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 1 2 3 4 51.已知 sin=-35,32,则 sin 2 等于()A.75B.-15C
16、.-1225D.2425解析:sin=-35,32,cos=-45.sin 2=2sin cos=2-35 -45=2425.答案:D-25-3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 DANGTANG JIANCE当堂检测 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 1 2 3 4 52.若 cos(+)=35,则 cos 2 的值为()A.-725B.1425C.-1625D.1925解析:cos(+)=35,cos=-35,cos 2=2cos2-1=2-35 2-1=-725.答案:A-26-3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 DANGTAN
17、G JIANCE当堂检测 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 1 2 3 4 53.若 tan=12,则 tan 2+4=.解析:tan=12,tan 2=2tan1-tan2=2121-14=43.tan 2+4=tan2+tan41-tan2tan4=43+11-43=-7.答案:-7-27-3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 DANGTANG JIANCE当堂检测 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 1 2 3 4 54.函数 y=2sin x(sin x+cos x)的最大值为 .解析
18、:y=2sin2x+2sin xcos x=1-cos 2x+sin 2x=1+2sin 2-4,y 的最大值为 1+2.答案:1+2-28-3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 DANGTANG JIANCE当堂检测 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 1 2 3 4 55.已知 cos x=1010,且 x-2,0,求 22 cos 2+4+sin2x 的值.解:cos x=1010,x-2,0,sin x=-1-cos2=-3 1010.sin 2x=2sin xcos x=-35.22 cos 2+4+sin2x=22 cos2cos 4-sin2sin 4+1-cos22=12 12sin 2x=12 12 -35=45.