1、变量间的相关关系【知识梳理】1相关关系如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系2散点图将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图，利用散点图，可以判断两个变量是否相关，相关时是正相关还是负相关3正相关和负相关(1)正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域(2)负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域4回归直线方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线(2)回归方程：回归直线的方
2、程，简称回归方程(3)回归方程的推导过程：假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)设所求回归方程为x，其中，是待定参数由最小二乘法得其中：是回归方程的斜率，是截距【常考题型】题型一、相关关系的判断【例1】(1)下列关系中，属于相关关系的是_正方形的边长与面积之间的关系；农作物的产量与施肥量之间的关系；人的身高与年龄之间的关系；降雪量与交通事故的发生率之间的关系(2)某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示.年龄(岁)x123456身高(cm)y788798108115120画出散点图；判断y与x是否具有线性相关关系解析(1)在中，正方形的边
3、长与面积之间的关系是函数关系；在中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；在中，人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具有相关关系；在中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系答案(1)(2)散点图如图所示由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y与x有线性相关关系【类题通法】两个变量是否相关的两种判断方法(1)根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断(2)利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断【对点训练】如图所示的两个变量不具有相关关系的有_解析：是确
4、定的函数关系；中的点大都分布在一条曲线周围；中的点大都分布在一条直线周围；中点的分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系答案：题型二、求回归方程【例2】某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：商店名称ABCDE销售额(x)/千万元35679利润额(y)/百万元23345(1)画出销售额和利润额的散点图；(2)若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y对销售额x的回归直线方程解(1)散点图如下：(2)数据如下表：ixiyixxiyi132962532515363361847449285958145合计3017200112可以求得0.5，0.4，线性回归方程为0.5x0.4.
5、【类题通法】求线性回归方程的步骤(1)计算平均数，.(2)计算xi与yi的积，求.(3)计算.(4)将结果代入公式，求.(5)用，求.(6)写出回归方程变式训练已知变量x，y有如下对应数据：x1234y1345(1)作出散点图；(2)用最小二乘法求关于x，y的回归直线方程解：(1)散点图如图所示(2)，yi16122039.1491630，0，所以x为所求回归直线方程.题型三、利用线性回归方程对总体进行估计【例3】一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机器零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表是抽样试验结果：转速x(转/秒)(xN
6、*)1614128每小时生产有缺点的零件数y(件)11985(1)如果y与x具有线性相关关系，求回归方程；(2)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件数最多为10个，那么机器的转速应该控制在什么范围内？解(1)由题意，可得12.5，8.25，yi438，660，则0.728 6，0.857 5.所以回归直线的方程为0.728 6x0.857 5.(2)要使y10，则0.728 6x0.857 510，解得x14.90.所以机器的转速应该控制在15转/秒以下【类题通法】回归分析的三个步骤(1)进行相关性检验，若两变量无线性相关关系，则所求的线性回归方程毫无意义(2)求回归直线方程，其关键是
7、正确地求得，.(3)根据直线方程进行预测【对点训练】假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)，有如下的统计资料：使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0由资料可知y与x具有相关关系(1)求回归方程x的回归系数，；(2)估计使用年限为10年时维修费用是多少解：(1)先把数据列成表.序号12345xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.3x4916253690由表可知4，5，由公式可得：1.23，51.2340.08.(2)由(1)可知回归方程是1.23x0.08，当x10时，1.2310
8、0.0812.30.0812.38(万元)故估计使用年限为10年时，维修费用是12.38万元【练习反馈】1下列命题正确的是()任何两个变量都具有相关关系；圆的周长与该圆的半径具有相关关系；某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究ABC D解析：选C显然不对，是函数关系，正确2对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i1,2，10)，得散点图图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i1,2，10)，得散点图图2.由这两个散点图可以判断()A变量x与y正相关，u与v正
9、相关B变量x与y正相关，u与v负相关C变量x与y负相关，u与v正相关D变量x与y负相关，u与v负相关解析：选C由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关3若施肥量x(kg)与水稻产量y(kg)的线性回归方程为5x250，当施肥量为80 kg时，预计水稻产量约为_kg.解析：把x80 kg代入回归方程可得其预测值580250650(kg)答案：6504对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表所示.x24568y3040605070若已求得它们的回归直线的斜率为6.5，这条回归直线的方程为_解析：由题意可知5，50.即样本中心为(5,50)设回归直线方程为6.5x，回归直线过
10、样本中心(，)，506.55，即17.5，回归直线方程为6.5x17.5答案：6.5x17.552013年元旦前夕，某市统计局统计了该市2012年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：年收入x(万元)24466677810年饮食支出y(万元)0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3(1)如果已知y与x是线性相关的，求回归方程；(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出(参考数据：117.7，406)解：依题意可计算得：6，1.83，236， 10.98，又117.7，406，0.17，0.81，0.17x0.81.所求的回归方程为0.17x0.81.(2)当x9时，0.1790.812.34(万元)可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元