1、平面【教学目标】1.正确理解平面的几何概念,掌握平面的基本性质.2.熟练掌握三种数学语言的转换与翻译,结合三个公理的应用会证明共点、共线、共面问题.3.通过三种语言的学习让学生感知数学语言的美,培养学生学习数学的兴趣.【重点难点】 三种数学语言的转换与翻译,利用三个公理证明共点、共线、共面问题.【课时安排】 1课时【教学过程】导入新课 大家都看过电视剧西游记吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面.推进新课新知
2、探究提出问题怎样理解平面这一最基本的几何概念;平面的画法与表示方法;如何描述点与直线、平面的位置关系？直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示;描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？自己总结三个公理的有关内容.活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下：回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等.我们的桌面看起来像什
3、么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示.点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外.确定一条直线需要几个点？引导学生观察教室的门由几个点确定.两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性.文字语言、图形语言、符号语言.平面的基本性质小结.讨论结果：平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念），只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性，很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错).我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们
4、也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图2.平行四边形的锐角通常画成45，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图3. 图2 图3 平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母、的前面加“平面”二字，如平面、平面、平面等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD（图5）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC（图5）. 图4 图5下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表：点A在直线a上（或直线a经过点A）Aa元素与集合间的关系点A在直线a外
5、（或直线a不经过点A）Aa点A在平面内（或平面经过点A）A点A在平面外（或平面不经过点A）A直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内(图7)，直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内.公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图6）描述. 空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一
6、个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示：若Aa,Ba,且A,B,则a. 图6 图7请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.若Aa,Ba,且A,B,则a.如图（图7）.在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等. 上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理.公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.如图（图8）.图8公理2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一.我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？不是，因为平面是无限延展
7、的.直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征.现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（课件演示给学生看）.问：两个平面会不会只有一个公共点？不会，因为平面是无限延展的，应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢？可见，这无数个公共点在一条直线上. 这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图（图9），用符号语言表示为：P,且P=l,且Pl.
8、图9 公理3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共点.也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线. 由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找这条交线的方法.描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言.“平面的基本性质”小结：名称作用公理1判定直线在平面内的依据公理2确定一个平面的依据公理3两平面相交的依据应用示例例1 如图10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.图10活动：
9、学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的答案）.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价.解：在（1）中，=l,a=A,a=B.在（2）中，=l,a,b,al=P,bl=P.变式训练1.画图表示下列由集合符号给出的关系：(1)A,B,Al,Bl;(2)a,b,ac,bc=P,=c.解：如图11.图112.根据下列条件，画出图形.（1）平面平面=l，直线AB，ABl，EAB，直线EF=F，Fl;（2）平面平面=a，ABC的三个顶点满足条件:Aa，B，Ba，C，Ca.答案：如图12.图12点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：(1)根据图形，先判断点、
10、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来.(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来.例2 已知直线a和直线b相交于点A.求证：过直线a和直线b有且只有一个平面.图13证明：如图13,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B，b上取一点C，根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面，因为A、B在平面内，根据公理1，直线a在平面内,同理直线b在平面内，即平面是经过直线a和直线b的平面.又因为A、B在a上，A、C在b上，所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、B、C.于是根据公理2，经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个，所以经过直线a和直线b的平面有
11、且只有一个.变式训练求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.证明：如图14，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F,图14直线a直线b=A,直线a和直线b确定平面设为，即a,b.B、Ca，E、Fb,B、C、E、F.而B、Fc，C、Ed,c、d,即a、b、c、d在同一平面内.点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：(1)直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线.拓展提升 O1是正方体ABCDA1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上.解：如图15,连接A1C1、AC，图15因AA1CC1，则AA1与CC1可确定一个平面AC1，易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1，所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1.又PA1C，得P平面AC1，而P截面AB1D1，故P在两平面的交线上，即PAO1.点评：证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上.课堂小结1.平面是一个不加定义的原始概念，其基本特征是无限延展性.2.通过三个公理介绍了平面的基本性质，及作用.名称作用公理1判定直线在平面内的依据公理2确定一个平面的依据公理3两平面相交的依据3.利用三个公理证明共面、共线、共点问题.作业课本习题2.1 A组5、6.