1、课后限时集训(五十八)圆锥曲线中的范围、最值问题建议用时:40分钟1已知椭圆C:x22y24.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点,若点A在直线y2上,点B在椭圆C上,且OAOB,求线段AB长度的最小值解(1)由题意,椭圆C的标准方程为1,所以a24,b22,从而c2a2b22.因此a2,c.故椭圆C的离心率e.(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x00.因为OAOB,所以0,即tx02y00,解得t.又x2y4,所以|AB|2(x0t)2(y02)2(y02)2xy4x44(0x4)因为4(0x4),且当x4时等号成立,所以|AB|28.故线段AB长度的最小值为2
2、.2已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别为F1(1,0),F2(1,0),P为椭圆C上一点,满足3|PF1|5|PF2|,且cosF1PF2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设直线l:ykxm与椭圆C交于A,B两点,点Q,若|AQ|BQ|,求k的取值范围解(1)由题意设|PF1|r1,|PF2|r2,则3r15r2.又r1r22a,联立,解得r1a,r2a.在PF1F2中,由余弦定理得cosF1PF2,解得a24.因为c1,所以b2a2c23,于是椭圆C的标准方程为1.(2)由消去y并整理,得(34k2)x28kmx4m2120.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x2,
3、且(8km)24(34k2)(4m212)48(34k2m2)0.设线段AB的中点为M(x0,y0),连接QM,则x0,y0kx0m.因为|AQ|BQ|,所以ABQM,又Q,M为线段AB的中点,所以k0,直线QM的斜率存在,所以kkQMk1,解得m.把代入,得34k2,解得k或k.即k的取值范围为.3.如图,已知抛物线x2y,点A,B,抛物线上的点P(x,y).过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围;(2)求|PA|PQ|的最大值解(1)设直线AP的斜率为k,kx,因为x,所以直线AP斜率的取值范围是(1,1)(2)联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ.因为|PA|(k1),|PQ|(xQx),所以|PA|PQ|(k1)(k1)3.令f (k)(k1)(k1)3,因为f (k)(4k2)(k1)2,所以f (k)在区间上单调递增,上单调递减,因此当k时,|PA|PQ|取得最大值.