1、【知识重温】一、必记 4 个知识点1柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S 侧_V_圆锥S 侧_V_13r2 l2r2圆台S 侧_V13(S 上S 下 S上S下)h13(r21r22r1r2)h2rhShr2hrl13Sh13r2h(r1r2)l直棱柱S 侧_V_正棱锥S 侧_V_正棱台S 侧_V13(S 上S 下 S上S下)h球S 球面_V_ChSh12Ch13Sh12(CC)h4R243R32.长方体的外接球(1)球心：体对角线的交点(2)半径：r a2b2c22(a，b，c 为长方体的长、宽、高)3正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球(1)外接球：球心是正方体中心；半径 r 32
2、 a(a 为正方体的棱长)(2)内切球：球心是正方体中心；半径 ra2(a 为正方体的棱长)(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径 r 22 a(a为正方体的棱长)4正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径 r 64 a(a 为正四面体的棱长)(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径 r 612a(a 为正四面体的棱长)二、必明 3 个易误点1求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错2由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误3易混侧面积与表面积的概念【小题热身
3、】1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 2S.()(2)锥体的体积等于底面面积与高之积()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差()(4)球的体积之比等于半径之比的平方()2将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A4 B3 C2 D解析：由题意可知该几何体是底面半径 r1，母线 l1 的圆柱，故 S 侧2rl2112.故选 C.答案：C32020唐山五校联考如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为()A3 B.113C
4、7 D.233解析：由题中的三视图可得，该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的几何体，长方体的长，宽，高分别为 2，1,2，体积为 4，切去的三棱锥的体积为13，故该几何体的体积 V413113.选择 B.答案：B42020福州四校联考已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.272 B27 C27 2 D27 3解析：在长、宽、高分别为 3,3 3，3 3的长方体中，由几何体的三视图得几何体为如图所示的三棱锥 CBAP，其中底面 BAP是BAP90的直角三角形，AB3，AP3 3，所以 BP6，又棱 CB平面 BAP 且 CB3 3，所以 AC6，所以该几何体的表面积是1
5、233 31233 31263 31263 327 3，故选 D.答案：D52020陕西宝鸡质检已知 A，B，C 三点都在以 O 为球心的球面上，OA，OB，OC 两两垂直，三棱锥 OABC 的体积为43，则球 O 的表面积为_解析：设球 O 的半径为 R，以球心 O 为顶点的三棱锥 OABC的三条侧棱两两垂直且都等于球的半径 R，ABC 是边长为 2R 的等边三角形，因此根据三棱锥的体积公式，得1312R2R43，R2，S 球42216.答案：16考点一 空间几何体的侧面积与表面积12018全国卷已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为 45.若
6、SAB 的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为_解析：如图，SA 与底面成 45角，SAO 为等腰直角三角形设 OAr，则 SOr，SASB 2r.在SAB 中，cosASB78，sinASB 158，SSAB12SASBsinASB12(2r)2 158 5 15，解得 r2 10，SA 2r4 5，即母线长 l4 5，S 圆锥侧rl2 104 540 2.答案：40 222020安徽合肥调研已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由半圆及矩形组成，俯视图由正方形及其内切圆组成，则该几何体的表面积为()A488 B484C648 D644解析：由三视图可知，该几何体是一个半球和一个
7、直四棱柱的组合体，根据图中数据可知，表面积为 4422242412422644，故选 D 项答案：D32020福建五校第二次联考已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A.394 3 3 B.454 3 3C.232D.494解析：由三视图可知，该几何体为圆锥挖掉四分之一个圆台后剩余的部分，示意图如图所示四分之三的大圆锥的侧面积 S13422 3222 6，四 分 之 一 的 小 圆 锥 的 侧 面 积 S2 41 32122，两个直角梯形的面积 S3212(12)33 3，四分之三的大圆锥的底面面积 S434223，四分之一的小圆锥的底面面积 S514124，所以该几何体的表面
8、积为 623 334394 3 3.故选 A 项答案：A悟技法几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形来解决(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理(4)若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解.考点二 空间几何体的体积自主练透型12020安徽安师大附中摸底某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A12 B18C24 D30解析：由三视
9、图知，该几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱截去一个三棱锥后得到的，如图，该几何体的体积 V12435131243(52)24，故选 C 项答案：C22019全国卷学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型如图，该模型为长方体 ABCDA1B1C1D1 挖去四棱锥 OEFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm,3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.解析：由题易得长方体 ABCDA1B1C1D1 的体积为 664144(cm3)，四边形 EFGH 为平行四
10、边形，如图所示，连接 GE，HF，易知四边形 EFGH 的面积为矩形 BCC1B1 面积的一半，即126412(cm2)，所以 V 四棱锥 OEFGH1331212(cm3)，所以该模型的体积为 14412132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为1320.9118.8(g)答案：118.832018天津卷，11已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为1，除面 ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点 E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥 MEFGH 的体积为_解析：本题主要考查正方体的性质和正四棱锥的体积由题意知四棱锥的底面 EFGH 为正方形，其边长为 22，即底面面积为1
11、2，由正方体的性质知，四棱锥的高为12.故四棱锥 MEFGH 的体积 V131212 112.答案：112 悟技法空间几何体体积的求法(1)求简单几何体的体积若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解(2)求组合体的体积若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解(3)求以三视图为背景的几何体的体积应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.考点三 空间几何体的外接球与内切球互动讲练型例 1(1)已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PAPBPC，ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，C
12、EF90，则球 O 的体积为()A8 6 B4 6C2 6 D.6解析：(1)因为点 E，F 分别为 PA，AB 的中点，所以 EFPB，因为CEF90，所以 EFCE，所以 PBCE.取 AC 的中点 D，连接 BD，PD，易证 AC平面 BDP，所以 PBAC，又 ACCEC，AC，CE平面 PAC，所以 PB平面 PAC，所以 PBPA，PBPC，因为 PAPBPC，ABC 为正三角形，所以 PAPC，即 PA，PB，PC 两两垂直，将三棱锥 PABC 放在正方体中如图所示因为 AB2，所以该正方体的棱长为 2，所以该正方体的体对角线长为 6，所以三棱锥PABC的外接球的半径R 62，所
13、以球O的体积V43R343623 6，故选 D.答案：(1)D悟技法空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截图，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用 4R2a2b2c2 求解.变式练(着眼于举一反三)12020河南洛阳尖子生联考四棱锥 SABCD 的所有顶点都在同一个球面上，底面 ABCD 是正方形且和球心 O 在同一平面内，当此
14、四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于 88 3，则球 O的体积等于()A.323B.32 23C16 D.16 23解析：由题意得，当此四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥如图，连接 AC，则球心 O 为 AC 的中点，连接 SO，设球 O 的半径为 R，则 AC2R，SOR，ABBC 2R.取 AB 的中点 E，连接 OE，SE，则 OE12BC 22 R，SE SO2OE2 62R.该四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于 88 3，(2R)2412 2R 62 R88 3，得 R2，球 O 的体积为43R3323.故选 A 项答案：A22020河北九校联考已知三棱柱 ABCA1B
15、1C1 的所有顶点都在球 O 的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球 O 的表面积为 20，则三棱柱的体积为()A6 3 B12 C12 3 D18解析：设球 O 的半径为 R，则由 4R220，得 R25.由题意知，此三棱柱为正三棱柱，故设三棱柱的底面边长为 a，高为 h，如图，取三角形 ABC 的中心 O1，四边形 BCC1B1 的中心 O2，连接OO1，OA，O2B，O1A，由题意可知，在 RtAOO1 中，OO21AO21AO2R2，即（h2）2(3a3)2R25，又 AO1BO2，所以 AO21BO22，即(3a3)2（h2）2(a2)2，由可得 a212，h2，所以三棱柱的体积 V(34 a2)h6 3.故选 A 项答案：A