1、第 4 讲 简单的三角恒等变换第三章 三角函数、解三角形 三角函数式的化简典例引领 化简：(1)（1sin cos）sin 2cos 222cos(0)；(2)1tan 2tan 2 1tan tan 2.【解】(1)原式 2sin 2cos 22cos22 sin 2cos 24cos22 cos 2sin2 2cos22cos 2cos 2cos cos 2.因为 0，所以 020.所以原式cos.(2)原式cos 2sin 2sin 2cos 21sin cos sin 2cos 2 cos22sin22sin 2cos 2cos cos 2sin sin 2cos cos 2 2cos
2、 sin cos 2cos cos 2 2sin.三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一个环节，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等通关练习1 化 简：（sin 2cos 21）（sin 2cos 21）sin 4_解析（sin 2cos 21）（sin 2cos 21）sin 4 sin22（cos 21）22sin 2cos 2sin22cos222cos 212s
3、in 2cos 2 2cos222cos 22sin 2cos 21cos 2sin 22sin22sin cos sin cos tan.tan 2化简：2cos4x2cos2x122tan4x sin24x_.解析 原式2sin2xcos2x122sin4x cos24xcos4x 12（1sin22x）2sin4x cos4x12cos22xsin22x12cos 2x.12cos 2x 三角函数式的求值(高频考点)三角函数的求值在高考中主要以选择题形式出现，有时以解答题某一步出现，试题难度较小高考对三角函数求值的考查主要有以下三个命题角度：(1)给值求值；(2)给角求值；(3)给值求角
4、典例引领(1)1cos 202sin 20 sin 10 1tan 5tan 5 的 值 为()A12 B 32C 22D14B(2)(2017湖北省教学合作联考)已知 tan4 12，且20，则2sin2sin 2cos4()A2 55B3 510C3 1010D2 55A(3)设，为钝角，且 sin 55，cos 3 1010，则 的值为()A34B54C74D54 或74C【解析】(1)原式2cos21022sin 10cos 10sin 10cos 5sin 5sin 5cos 5 cos 102sin 10sin 10cos25sin25sin 5cos 5 cos 102sin 1
5、0sin 10 cos 1012sin 10 cos 102sin 102cos 10 cos 102sin 202sin 10 cos 102sin（3010）2sin 10 cos 10212cos 10 32 sin 102sin 10 3sin 102sin 10 32.(2)因为 tan4 tan 11tan 12，所以 tan 13，因为20.又(，2)，所以 32，2，所以 74.三角函数求值的三种情况(1)“给角求值”：一般给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角
6、函数而得解(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角题点通关角度一 给值求值1已知 sin3 sin 4 35，则 sin76 的值是()A2 35B2 35C45D45D 解析 sin3 sin 4 35 sin 3cos cos 3sin sin 4 35 32sin 32 cos 4 35 32 sin 12cos 45，故sin76 sin cos 76 cos sin 76 32 sin 12cos 45.角度二 给角求值
7、2sin 50(1 3tan 10)_.解析 sin 50(1 3tan 10)sin 50(1tan 60tan 10)sin 50cos 60cos 10sin 60sin 10cos 60cos 10 sin 50cos（6010）cos 60cos 10 2sin 50cos 50cos 10sin 100cos 10 cos 10cos 101.1角度三 给值求角3已知，(0，)，且 tan()12，tan 17，则 2 的值为_解析 因为 tan tan()tan（）tan 1tan（）tan 121711217130，所以 00，所以 022，所以 tan(2)tan 2tan
8、1tan 2tan 3417134171.因为 tan 170，所以2，20，所以 234.三角恒等变换的综合问题典例引领 如图，现要在一块半径为 1 m，圆心角为3的扇形白铁片 AOB 上剪出一个平行四边形 MNPQ，使点 P 在弧 AB 上，点 Q 在 OA 上，点 M，N 在 OB 上，设BOP，平行四边形 MNPQ 的面积为 S.(1)求 S 关于 的函数关系式；(2)求 S 的最大值及相应的 角【解】(1)分别过 P，Q 作 PDOB 于点 D，QEOB 于点 E，则四边形 QEDP 为矩形由扇形半径为 1 m，得 PDsin，ODcos.在 RtOEQ 中，OE 33 QE 33
9、PD，MNQPDEODOEcos 33 sin，SMNPDcos 33 sin sin sin cos 33 sin2，0，3.(2)S12sin 2 36(1cos 2)12sin 2 36 cos 2 36 33 sin26 36，因为 0，3，所以 266，56，sin26 12，1.当 6时，Smax 36(m2)(1)结合具体图形引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行化简，解决最优化问题(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的范围，最后作出结论并回答问题 如图，有一块以点 O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形 ABCD 开辟为绿地，
10、使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点 B，C 落在半圆的圆周上已知半圆的半径长为 20 m，如何选择关于点 O 对称的点 A，D的位置，可以使矩形 ABCD 的面积最大，最大值是多少？解 连接 OB，设AOB，则 ABOBsin 20sin，OAOBcos 20cos，且0，2.因为 A，D 关于原点对称，所以 AD2OA40cos.设矩形 ABCD 的面积为 S，则 SADAB40cos 20sin 400sin 2.因为 0，2，所以当 sin 21，即 4时，Smax400(m2)此时 AODO10 2(m)故当 A、D 距离圆心 O 为 10 2 m 时，矩形 ABCD 的面积最大，
11、其最大面积是 400 m2.化简三角函数式(一题多解)化简 sin2sin2cos2cos212cos 2cos 2.【解】法一：原式sin2sin2cos2cos212(2cos21)(2cos21)sin2sin2cos2cos212(4cos2cos22cos22cos21)sin2sin2cos2cos2cos2sin2cos2sin212 sin2(sin2cos2)cos2(sin2cos2)12 sin2cos21211212.法二：原式1cos 221cos 221cos 221cos 2212cos 2cos 2 14(1cos 2cos 2cos 2cos 2)14(1co
12、s 2cos 2cos 2cos 2)12cos 2cos 2 1212cos 2cos 212cos 2cos 212.法三：原式sin2sin2(1sin2)cos212cos 2cos 2 cos2sin2(cos2sin2)12cos 2cos 2 cos2sin2cos 212cos 2cos 2 cos2cos 2sin212cos 2 1cos 22cos 2sin212（12sin2）1cos 2212cos 212.本题给出了三种不同方法，其解题思路是异角化同角，复角化单角，异次化同次等，化简要求是项数尽量少，次数尽量低，函数种类尽量少，能求值的必须求出函数值，数值结果也要化
13、为最简形式本题若是选择题或填空题，可令 0，此题即可解决 已 知 cos 4x 35，若 1712 x 74 ，求sin 2x2sin2x1tan x的值解 法一：由1712x74，得53x42.又 cos4x 35，所以 sin4x 45，所以 cos xcos4x 4 cos4x cos 4sin4x sin4 35 22 45 22 210.从而 sin x7 210，tan x7.则sin 2x2sin2x1tan x2sin xcos x2sin2x1tan x 27 210 210 27 2102172875.法二：由法一得 tan4x 43.又 sin 2xcos22x cos 24x 2cos24x 118251 725.则sin 2x2sin2x1tan xsin 2x2sin2x1sin xcos x sin 2xcos x2sin2xcos xcos xsin xsin 2x（sin xcos x）cos xsin x sin 2x1tan x1tan xsin 2xtanx4 72543 2875.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放