1、题组层级快练(十八)(第二次作业)1若定义在闭区间a，b上的连续函数yf(x)有唯一的极值点xx0，且f(x0)为极小值，则下列说法正确的是()A函数f(x)有最小值f(x0)B函数f(x)有最小值，但不一定是f(x0)C函数f(x)有最大值也可能是f(x0)D函数f(x)不一定有最小值答案A解析闭区间上的唯一的极值点就是最值点2函数f(x)，x0,4的最大值是()A0B.C. D.答案B3若函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则实数a的取值范围为()A0a1 B0a1C1a1 D0a答案B4(2015云南昆明一模)已知函数f(x)lnx，则下列结论中正确的是()A若x1，x2(x
2、1x2)是f(x)的极值点，则f(x)在区间(x1，x2)上是增函数B若x1，x2(x10，且x1，f(x)2Dx00，f(x)在(x0，)上是增函数答案D解析由已知f(x)(x0，且x1)，令f(x)0，得xe或x.当x(0，)时，f(x)0；当x(，1)(1，e)时，f(x)0.故x和xe分别是函数f(x)的极大值点和极小值点，故函数f(x)在(，1)和(1，e)上单调递减，所以A，B错；当0x1时，lnx0，f(x)0，故C错；若x0e，f(x)在(x0，)上是增函数，D正确5(2015四川内江一模)已知函数f(x)x3x2cxd有极值，则实数c的取值范围为()Ac答案A解析由题意可知f
3、(x)x2xc0有两个不同的实根，所以14c0c0，得x0，令f(x)0，得x0，则函数f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，f(1)e11，f(1)e1，f(1)f(1)2e2ef(1)故选D.7若函数f(x)在x1处取极值，则a_.答案3解析f(x)，由f(x)在x1处取得极值知f(1)0，a3.8(2015黑龙江哈尔滨一模)函数yx2cosx在区间0，上的最大值是_答案解析y12sinx，令y0，且x0，得x.则x0，)时，y0；x(，时，y0的解集是x|0x0，则0x0成立；存在a(，0)，使得函数f(x)有两个零点其中正确命题的序号是_(写出所有正确命题的序号)答案
4、解析由f(x)exalnx，可得f(x)ex，若a0，则f(x)0，得函数f(x)是D上的增函数，存在x(0,1)，使得f(x)0即得命题不正确；若a0，设ex0的根为m，则在(0，m)上f(x)0，所以函数f(x)存在最小值f(m)，即命题正确；若f(m)2解析(1)f(x)2xa，f(x)在(0，)上为减函数，x(0，)时2xa0恒成立，即a2x恒成立设g(x)2x，则g(x)2.x(0，)时4，g(x)g()3，a3.(2)若f(x)既有极大值又有极小值，则f(x)0必须有两个不等的正实数根x1，x2，即2x2ax10有两个不等的正实数根故a应满足a2.当a2时，f(x)0有两个不等的实
5、数根不妨设x1x2，由f(x)(2x2ax1)(xx1)(xx2)知，0xx1时f(x)0，x1x0，xx2时f(x)2时f(x)既有极大值f(x2)又有极小值f(x1)13(2015衡水调研卷)已知函数f(x)x2alnx.(1)若a1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a1，求函数f(x)在1，e上的最大值和最小值；(3)若a1，求证：在区间1，)上函数f(x)的图像在函数g(x)x3的图像的下方答案(1)极小值为(2)f(x)min，f(x)maxe21(3)略解析(1)由于函数f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)x，令f(x)0，得x1或x1(舍去)当x
6、(0,1)时，函数f(x)单调递减，当x(1，)时，函数f(x)单调递增，所以f(x)在x1处取得极小值，极小值为.(2)当a1时，易知函数f(x)在1，e上为增函数，所以f(x)minf(1)，f(x)maxf(e)e21.(3)证明：设F(x)f(x)g(x)x2lnxx3，则F(x)x2x2，当x1时，F(x)0，故F(x)在区间(1，)上是减函数又因为F(1)0，所以在区间1，)上F(x)0恒成立，即f(x)g(x)恒成立因此，当a1时，在区间1，)上函数f(x)的图像在函数g(x)图像的下方14(2014江西文)已知函数f(x)(4x24axa2)，其中a0，得x或x(2，)故函数f
7、(x)的单调递增区间为和(2，)(2)f(x)，a0，由f(x)0，得x或x.当x时，f(x)单调递增；当x时，f(x)单调递减；当x时，f(x)单调递增易知f(x)(2xa)20，且f0.当1，即2a0时，f(x)在1,4上的最小值为f(1)，由f(1)44aa28，得a22，均不符合题意当14，即8a4，即a8时，f(x)在1,4上的最小值可能在x1或x4处取得，而f(1)8，由f(4)2(6416aa2)8，得a10或a6(舍去)当a10时，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在1,4上的最小值为f(4)8，符合题意综上有a10.15(2014重庆理)已知函数f(x)ae2xbe2x
8、cx(a，b，cR)的导函数f(x)为偶函数，且曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率为4c.(1)确定a，b的值；(2)若c3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求实数c的取值范围答案(1)a1，b1(2)f(x)在R上为增函数(3)(4，)思路对于(1)，先根据相关的求导法则，正确求得相应函数的导数；再结合偶函数的定义及导数的几何意义确定相关的待定系数，对于(2)，结合函数的导函数与基本不等式，由此判定相应函数的导数的符号，进而确定其单调性；对于(3)，结合函数的导数与极值的意义，通过判断相关函数的零点情况，确定待定系数的取值范围解析(1)对f(x)求导得f(x)2ae
9、2x2be2xc，由f(x)为偶函数，知f(x)f(x)，即2(ab)(e2xe2x)0，所以ab.又f(0)2a2bc4c，故a1，b1.(2)当c3时，f(x)e2xe2x3x，那么f(x)2e2x2e2x32310，故f(x)在R上为增函数(3)由(1)知f(x)2e2x2e2xc，而2e2x2e2x24，当x0时等号成立下面分三种情况进行讨论当c4时，对任意xR，f(x)2e2x2e2xc0，此时f(x)无极值；当c4时，对任意x0，f(x)2e2x2e2x40，此时f(x)无极值；当c4时，令e2xt，注意到方程2tc0有两根t1,20，即f(x)0有两个根x1lnt1，或x2lnt2.当x1xx2时，f(x)0；又当xx2时，f(x)0，从而f(x)在xx2处取得极小值综上，若f(x)有极值，则c的取值范围为(4，)