1、第六节 空间向量及其运算第六节 空间向量及其运算 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1空间向量的线性运算(1)在空间内，把具有大小和方向的量叫做向量，且用有向线段来表示，同向且等长的有向线段表示_或_起点和终点重合的向量叫做_，记为0.表示向量a的有向线段的长度叫做向量的_，记为|a|.有向线段所在的直线叫做向量的_同一向量相等向量零向量长度或模基线(2)空间向量的求和有_法则和_法则，其中三角形法则可推广到空间中多个向量的求和，这个和向量通常称为“封口向量”(3)实数与向量a的积仍为一个向量，记为a，且a与a为共线向量，|a|_.三角形平行四边
2、形|a|(4)空间向量的加法与数乘运算满足：加法交换律，即ab_；加法结合律，即(ab)ca(bc)；分配律，即()aaa，(ab)_.baab2空间向量的基本定理(1)共线向量定理：对空间两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数x，使_.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的一对实数x，y，使c_.axbxayb(3)空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一一组有序实数组x，y，z，使p_，这时a，b，c叫做空间的一个基底，记作a，b，c，其中a，b，c都叫做_xaybzc基向量3空间向量的直
3、角坐标运算(1)已知a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则ab_；ab(x1x2，y1y2，z1z2)；a_；ab_.(x1x2，y1y2，z1z2)(x1，y1，z1)x1x2y1y2z1z2(2)若点 A(x1，y1，z1)，点 B(x2，y2，z2)，则AB(3)空间向量平行和垂直的条件ab(b0)x1x2y1y2z1z2；若 x2、y2、z20，则 abx1x2y1y2z1z2；(x2x1，y2y1，z2z1)abx1x2y1y2z1z20.(4)两个向量夹角及向量长度的坐标计算公式设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，
4、z2)，则|a|a21a22a23；cosa1b1a2b2a3b3a21a22a23b21b22b23；|AB|x2x12y2y12z2z12；与 a 同向的单位向量 e a|a|(a1a21a22a23，a2a21a22a23，a3a21a22a23)课前热身 1已知 A、B、M 三点不共线，对于平面 ABM 外的任一点 O，确定在下列各条件下，点 P 是否与 A、B、M 一定共面？(1)OB OM 3OP OA；(2)OP 4OA OB OM.解：(1)原式可变形为OP OM(OA OP)(OBOP)OM PAPB.即MP PAPB.由共面向量定理知 P 与 A、B、M 共面(2)原式可变
5、形为OP 2OA OA OB OA OM2OA BA MA.由共面向量定理可得 P位于平面 ABM 内的充要条件可写成OP OA xBA yMA.而此题推得OP 2OA BA MA，P 与 A、B、M 不共面2已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边AB、BC、CD、DA 的中点用向量法证明：E、F、G、H 四点共面证明：如图，连结 BG，则EG EB BG EB 12(BC BD)EB BF 12BDEF EH.由共面向量定理知 E、F、G、H 四点共面考点探究挑战高考 空间向量的线性运算 考点突破 用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键，要正确理解向
6、量加法、减法与数乘运算的几何意义，首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则，在立体几何中要灵活应用三角形法则；向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立例1如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E 是上底面 A1C1 的中心，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量(1)AB BC C1C；(2)12AB 12DA A1A.【思路分析】结合图形，利用空间向量的加减法化简【解】(1)AB BC C1CAB BC CC1AC CC1 AC1.(2)12AB 12DA A1A12(AB AD)AA112AC AA1
7、A1E AA1AE.向量AC1，AE 如图所示【名师点评】向量表达式的化简主要是应用三角形法则或平行四边形法则，在化简过程中对于减法的处理可以直接用减法法则进行，也可以先将减法转化为加法后再进行运算；化简后的结果要求标示在图中的，必须标注清晰互动探究 1 若将本例中(1)改为CC1 CB BA，结果与原题是否相同？解：结果与原题相同，因为CC1 CB BA ABBC C1C.空间中点共线、共面问题(1)点共线问题证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明 A、B、C 三点共线，即证明AB与AC 共线(2)点共面问题点共面问题，可转化为向量共面问题，要证明 P、A、B、C 四点共面，只要能证
8、明PAxPB yPC，或对空间任一点 O，有OA OP xPByPC 或OP xOAyOB zOC(xyz1)即可，以上结论是判定空间四点共面的一个充要条件，共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的必要条件例2如图所示，已知 P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，连结 PA、PB、PC、PD，点 E、F、G、H 分别为PAB、PBC、PCD、PDA 的重心，应用向量共面定理证明：E、F、G、H 四点共面【证明】分别连结并延长 PE、PF、PG、PH 交对边于 M、N、Q、R.E、F、G、H 分别是所在三角形的重心，M、N、Q、R 为所在边的中点，顺次边结 M、N、Q、R，所得四边形
9、为平行四边形，且有PE 23PM，PF 23PN，PG 23PQ，PH23PR.MNQR 为平行四边形，EG PG PE23PQ 23PM 23MQ 23(MN MR)23(PN PM)23(PRPM)23(32PF32PE)23(32PH 32PE)EF EH.由共面向量定理得 E、F、G、H 四点共面【名师点评】利用向量法证明四点共面，实质上是证明的向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系本题只需找出EG、EF，EH 的线性关系即可变式训练 2 对于任意空间四边形 ABCD，E、F 分别是 AB、
10、CD 的中点，试判断EF 与BC、AD 的关系并给出证明解：可判断EF 与BC、AD 共面证明：E、F 分别为 AB、CD 上的点，EF EA AD DF，EF EB BC CF.又 E、F 分别为 AB、CD 的中点，EA EB，DF CF，将代入中，两式相加得2EF AD BC，EF 12AD 12BC，即EF 与BC、AD 共面空间向量的数量积及坐标运算 用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求异面直线所成的角，求两点距离或线段长度以及证明线线垂直，线面垂直等典型问题例3设向量 a(3,5，4)，b(2,1,8)，计算 2a3b,3a2b，ab 以及 a 与 b 所成角的余弦值，并确定
11、、的值，使 ab与 z 轴垂直【思路分析】要计算 2a3b,3a2b 及ab，只要代入向量坐标运算的公式即可求a 与 b 所成的角应先求出|a|及|b|，代入公式a，b ab|a|b|，而要使 ab 与 z 轴垂直，只要使(ab)(0,0,1)0，从而转化为、的方程组进而求出、的值【解】2a3b2(3,5，4)3(2,1,8)(12,13,16)，3a2b3(3,5，4)2(2,1,8)(5,13，28)，ab(3,5，4)(2,1,8)32514821，|a|325242 50，|b|221282 69，a，b ab|a|b|2150 697 138230.由(ab)(0,0,1)(32，5
12、，48)(0,0,1)480 知，只要、满足480 即可使 ab与 z 轴垂直【名师点评】空间中向量的坐标运算要注意竖坐标，不能受平面向量二维思想的影响方法感悟 方法技巧1证明空间任意三点共线的方法对空间三点 P，A，B 可通过证明下列结论成立来证明三点共线：(1)PAPB；(2)对空间任一点 O，OP OA tAB；(3)对空间任一点 O，OP xOA yOB(xy1.)2证明空间四点共面的方法对空间四点 P，M，A，B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面：(1)MP xMA yMB；(2)对空间任一点 O，OP OM xMA yMB；(3)对空间任一点 O，OP xOM yOA zOB(
13、xyz1)；(4)PM AB(或PAMB 或PBAM)3空间向量数量积的理解(1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量；(2)数量积不满足消去律，即 abbc/ac；(3)数量积的运算不适合乘法结合律，即(ab)c 不一定等于 a(bc)，这是由于(ab)c 表示一个与 c 共线的向量，而 a(bc)表示一个与 a 共线的向量，又 c 与 a 不一定共线(4)若 a0，当 ab0 时，不一定有 ab，因为 b0时，ab0 也成立，也不一定有 b0，因为 ab 时，ab0 也成立失误防范1空间向量与平面向量在某些运算上思路一样，但多了竖坐标，因而书写及运算时，不能缺失2空间向量选取基底时，应
14、选取不共面的三个向量，而不是共线向量考向瞭望把脉高考 考情分析 从近几年江苏高考试题看，空间向量并不是常考内容，在填空题中几乎没有考查，只在解答题中作为求角或证明平行、垂直的一种解题方法 预测在2012年的江苏高考中，有可能在解答题中来考查空间向量的应用，主要是空间向量坐标的运算规范解答 例(本题满分 14 分)如图，设动点 P 在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 的对角线 BD1 上，记D1PD1B.当APC 为钝角时，求 的取值范围【解】由题设可知，以DA、DC、DD1为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，则有 A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1
15、,0)，D1(0,0,1).2 分由D1B(1,1，1)得D1P D1B(，)，所以PAPD1 D1A(，)(1,0，1)(1，1)，PC PD1 D1C(，)(0,1，1)(，1，1).8 分显然APC 不是平角，所以APC 为钝角等价于cosAPCcosPA，PC PAPC|PA|PC|0，10 分这等价于PAPC0，即(1)()()(1)(1)2(1)(31)0，得131.13 分因此，的取值范围为13，1.14 分【名师点评】建立空间直角坐标系，利用向量法解决空间中角等问题可以避免空间想象能力对学生的影响，是一种较好的解题方法，利用此方法要注意运算的准确性名师预测 1已知(acos，1
16、，sin)，b(sin，1，cos)，求向量ab与ab的夹角解：ab(cossin，2，sincos)，ab(cossin，0，sincos)，(ab)(ab)(cossin)(cossin)(sincos)(sincos)0，(ab)(ab)，即向量 ab 与 ab 的夹角为2.2已知正三棱柱 ABCA1B1C1，底面边长AB2，AB1BC1，点 O、O1 分别是边 AC、A1C1 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系(1)求正三棱柱的侧棱长；(2)若 M 为 BC1 的中点，试用基向量AA1、AB、AC 表示向量AM；(3)求异面直线 AM 与 BC 所成的角解：(1)设正三棱柱的侧棱长为
17、 a，则 A(0，1,0)，B1(3，0，a)，B(3，0,0)，C1(0,1，a)，AB1(3，1，a)，BC1(3，1，a)AB1BC1，AB1 BC1，AB1 BC1 0，即31a20，a2.即正三棱柱侧棱长为 2.(2)AM AB BM AB 12BC1 AB12(BC CC1)AB 12(AC AB AA1)12AB 12AC 12AA1.(3)由条件知，AB，BC 120，AC，BC 60，BC，AA1 90.AM BC(12AB 12AC 12AA1)BC12(AB BC AC BC AA1 BC)12(221222120)0，AM BC，即异面直线 AM 与 BC 所成角为 90.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
