1、第三章3.2第2课时请同学们认真完成练案24A级基础巩固一、选择题1(福州八县市协作校20182019学年期末)若直线l的方向向量为a(1，2,3)，平面的法向量为n(3,6，9)，则(C)A1BlClDl与相交解析直线l的方向向量为a(1，2,3)，平面的法向量为n(3,6，9)，an，an，l.故选C2若直线l，且l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为(1，2)，则m为(C)A4B6C8D8解析l，l与平面的法向量垂直故21m120，解得m8，故选C3若n(1，2,2)是平面的一个法向量，则下列向量能作为平面法向量的是(C)A(1，2,0)B(0，2,2)C(2，4,4)D(2,4,
2、4)解析(2，4,4)2(1，2,2)2n，(2，4,4)可作为的一个法向量4已知平面内有一点M(1，1,2)，平面的一个法向量n(6，3,6)，则下列点P中在平面内的是(A)AP(2,3,3)BP(2,0,1)CP(4,4,0)DP(3，3,4)解析选项A：P(2,3,3)，(1,4,1)，则n61260，n，P(2,3,3)在内，故A正确，同理B，C，D不正确5四边形ABCD为菱形，PA平面ABCD，则下列不等式0；0；0；0中成立的等式个数为(C)A1B2C3D4解析PA平面ABCD，则PAAB，0，式成立；在菱形ABCD中，ACBD，又PABD，BD平面PAC，BDPC，0，故成立；P
3、A平面ABCD，则PACD，0，故成立；式不成立，故选C6若平面，的法向量分别为n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，则(C)ABC，相交但不垂直D以上均不正确解析n1与n2不是平行向量，且n1n20，相交且不垂直二、填空题7同时垂直于a(2,2,1)、b(4,5,3)的单位向量是_或_.解析设所求向量为c(x，y，z)，则，解得，或.8已知ABC是B为直角顶点的等腰直角三角形，其中(1，m,2)、(2，m，n)(m、nR)，则mn_1_.解析由题意得0，且|，.mn1.三、解答题9如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2，E、F分别是AD、PC的
4、中点，求证：PC平面BEF.解析如图，以A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系APAB2，BCAD2，四边形ABCD是矩形，A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2，2，0)、D(0,2，0)、P(0,0,2)又E、F分别是AD、PC的中点，E(0，0)、F(1，1)(2,2，2)、(1，1)、(1,0,1)，2420，2020，PCBF，PCEF.又BFEFF，PC平面BEF.10如图，PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PAAB1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；(2)
5、证明：无论点E在边BC上的何处，都有PEAF.解析解法一：(1)解：当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行PBC中，E、F分别为BC、PB的中点EFPC又EF平面PAC而PC平面PAC，EF平面PAC.(2)证明：PA平面ABCD，BE平面ABCD，EBPA.又EBAB，ABAPA，AB，AP平面PAB，EB平面PAB，又AF平面PAB，AFBE，又PAAB1，点F是PB的中点，AFPB，又PBBEB，PB，BE平面PBE，AF平面PBE.PE平面PBE，AFPE.所以无论点E在边BC的何处，都有PEAF.解法二：以A为原点，AD、AB、AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系
6、，则A(0,0,0)、P(0,0,1)、B(0,1,0)，设D(a,0,0)，则C(a,1,0)(1)E为BC的中点，F为BP的中点，E、F，、(0,0,1)、(a,1,0)设平面PAC的法向量为n(x，y，z)，则，.取x1，则n(1，a,0)，n0，n，又EF平面PAC，EF平面PAC.(2)E在BC上，设E(m,1,0)，(m,1，1)，0，PEAF.无论点E在边BC上何处，总有PEAF.B级素养提升一、选择题1如图，在三棱锥ABCD中，DA、DB、DC两两垂直，且DBDC，E为BC中点，则等于(A)A0B1C2D3解析如图，建立空间直角坐标系，设DCDBa，DAb，则B(a,0,0)、
7、C(0，a,0)、A(0,0，b)，E，所以(a，a,0)，00.2已知直线l1的方向向量a(2，2，x)，直线l2的方向向量b(2，y,2)，且|a|3，l1l2，则y(D)A1B1C3D1或33(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果(2，1，4)、(4,2,0)、(1,2，1)则(ABC)AAPABBAPADC是平面ABCD的法向量D.解析2(1)(1)2(4)(1)2240，则.4(1)2200，则，A，平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量AA(2,3,4)，显然B.4(多选题)已知直线l1的方向向量是a(2,4，x)，直线l2的方向向量是b(2，y,2)若|a
8、|6，且ab0，则xy的值是(CD)A1B1C3D1解析由题意知|a|6，解得x4，由ab44y2x0得，x2y2.当x4时，y3，所以xy1.当x4时，y1，所以xy3.综上，xy3或1.二、填空题5已知点A(0,1,0)，B(1,0，1)，C(2,1,1)，点P(x,0，z)，若PA平面ABC，则点P的坐标为_(1,0,2)_.解析由题意知(1，1，1)，(2,0,1)，(x，1，z)，又PA平面ABC，所以(1，1，1)(x，1，z)0，得x1z0.(2,0,1)(x，1，z)0，得2xz0，联立得x1，z2，故点P的坐标为(1,0,2)6如图所示，在空间直角坐标系中，BC2，原点O是B
9、C的中点，点D在平面yOz上，且BDC90，DCB30，则向量的坐标为_.解析如图所示，过D作DEBC，垂足为E，在RtBCD中，由BDC90，DCB30，BC2，得BD1，CD.DECDsin30，OEOBBDcos601.D点坐标为，即向量的坐标为.三、解答题7如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，D为AB的中点，ACBCBB1.(1)求证：BC1AB1；(2)求证：BC1平面CA1D.证明如图，以C1点为原点，C1A1、C1B1、C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设ACBCBB12，则A(2,0,2)、B(0,2,2)、C(0,0,2)、A1(2,0,0)
10、、B1(0,2,0)、C1(0,0,0)、D(1,1,2)(1)(0，2，2)、(2,2，2)，0440，BC1AB1.(2)取A1C的中点E，E(1,0,1)，(0,1,1)，又(0，2，2)，且ED和BC1不共线，则EDBC1.又ED平面CA1D，BC1平面CA1D，故BC1平面CA1D.8在棱长ABAD2，AA13的长方体ABCDA1B1C1D1中，点E是平面BCC1B1上的动点，点F是CD的中点试确定点E的位置，使D1E平面AB1F.解析建立空间直角坐标系如图，则A(0,0,0)、F(1,2,0)、B1(2,0,3)、D1(0,2,3)，设E(2，y，z)，则(2，y2，z3)、(1,2,0)、(2,0,3)，D1E平面AB1F，即，解得.E(2,1，)即为所求