1、第1讲概率1(2015课标全国)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A. B. C. D.2(2014陕西)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A. B. C. D.3(2015重庆)在区间0,5上随机地选择一个数p，则方程x22px3p20有两个负根的概率为_4(2014福建)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型
2、的基本应用.2.将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力.热点一古典概型1古典概型的概率：P(A).2古典概型的两个特点：所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等例1(2014天津)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率思维升华求古典概型概率的步骤：(1)反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理
3、解题意；(2)判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件；(3)利用列举法求出总的基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m；(4)计算事件A的概率P(A).跟踪演练1(1)(2015广州二模)有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是()A. B. C. D.(2)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b1,2,3,4,5,6，若|ab|1，就称甲乙“心有灵犀”现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为()A
4、. B. C. D.热点二几何概型1几何概型的概率公式：P(A).2几何概型应满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性例2(1)(2015山东)在区间0,2上随机地取一个数x，则事件“1log1”发生的概率为()A. B. C. D.(2)在区间1,5和2,4上分别取一个数，记为a，b，则方程1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为()A. B. C. D.思维升华当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域跟踪演练
5、2(1)在区间3,3上随机取一个数x，使得函数f(x)1有意义的概率为_(2)在棱长为2的正方体内任取一点，则该点到正方体中心的距离不大于1的概率为()A. B. C. D.热点三互斥事件与对立事件1事件A，B互斥，那么事件AB发生(即A，B中有一个发生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(AB)P(A)P(B)2在一次试验中，对立事件A和不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P()1P(A)例3某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0,1,2,3,4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的编号之和等于7则中一等奖，等于6或5则中二等奖，等于
6、4则中三等奖，其余结果为不中奖(1)求中二等奖的概率；(2)求不中奖的概率思维升华事件的互斥和对立是既有联系又有区别的两个概念，要充分利用对立事件是必然有一个发生的互斥事件在判断这些问题时，先要判断两个事件是不是互斥事件(即是否不可能同时发生)，然后判断这两个事件是不是对立事件(即是否必然有一个发生)在解答与两个事件有关的问题时一定要仔细斟酌，全面考虑，防止出现错误跟踪演练3(1)设事件A，B，已知P(A)，P(B)，P(AB)，则A，B之间的关系一定为()A两个任意事件 B互斥事件C非互斥事件 D对立事件(2)盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球，从中任意取出两个，则这
7、两个球的编号之积为偶数的概率是_(结果用最简分数表示)1将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m和n，则函数ymx3nx1在1，)上为增函数的概率是()A. B. C. D.2已知集合Mx|1x4，xR，Nx|x23x20，在集合M中任取一个元素x，则“xMN”的概率是()A. B. C. D.3在一种游戏规则中规定，要将一枚质地均匀的铜板扔到一个边长为8的小方块上(铜板的直径是4)，若铜板完整地扔到小方块上即可晋级现有一人把铜板扔在小方块上，晋级的概率P为()A. B. C. D.4抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表
8、示“朝上一面的数不超过2”，则P(AB)_.提醒：完成作业专题七第1讲二轮专题强化练专题七 第1讲概率A组专题通关1(2015合肥二模)从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为()A. B.C. D.2有一个奇数列1,3,5,7,9，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3,5，第三组有3个数为7,9,11，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为()A. B.C. D.3(2014湖南)在区间2,3上随机选取一个数X，则X1的概率为()A. B.C. D.4(2015唐山二模)
9、用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为()A. B.C. D.5(2015陕西)设复数z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则yx的概率为()A. B.C. D.6(2015绵阳诊断)如图的茎叶图是甲乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为_7(2015宣武模拟)曲线C的方程为1，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A为“方程1表示焦点在x轴上的椭圆”，那么P(A)_.8已知区域(x，y)|xy10，x0，y0，A(x，y)|xy0，x5，y0，若向区域上随机投1个点，则这
10、个点落入区域A的概率P(A)_.9一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b，c.(1)z(b3)2(c3)2，求z4的概率；(2)若方程x2bxc0至少有一根x1,2,3,4，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率10现有8名数理化成绩优秀者，其中A1，A2，A3数学成绩优秀，B1，B2，B3物理成绩优秀，C1，C2化学成绩优秀从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛(1)求C1被选中的概率；(2)求A1和B1不全被选中的概率B组能力提高11(2015福建)如图，矩形ABCD中，点A在x
11、轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)的图象上若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A. B. C. D.12掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A发生的概率为()A. B. C. D.13在区间2,3上任取一个数a，则函数f(x)x3ax2(a2)x有极值的概率为_14(2015潍坊一模)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15，边界忽略不计)即
12、为中奖乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？学生用书答案精析专题七概率与统计第1讲概率高考真题体验1C从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为.故选C.2C取两个点的所有情况为C10，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为.故选C.3.解析方程x22px
13、3p20有两个负根，则有即解得p2或p1，又p0,5，则所求概率为P.40.18解析由题意知，这是个几何概型问题，0.18，S正1，S阴0.18.热点分类突破例1解(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为A，B，A，C，A，X，A，Y，A，Z，B，C，B，X，B，Y，B，Z，C，X，C，Y，C，Z，X，Y，X，Z，Y，Z，共15种(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为A，Y，A，Z，B，X，B，Z，C，X，C，Y，共6种因此，事件M发生的概率P(M).跟踪演练1(1)C(2)D解析(1)能组成的两位数有12,13,20,30,21,31，共6
14、个，其中的奇数有13,21,31，共3个，因此所组成的两位数为奇数的概率是，故选C.(2)根据题目条件知所有的数组(a，b)共有6236组，而满足条件|ab|1的数组(a，b)有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)，共有16组，根据古典概型的概率公式知所求的概率为P.故选D.例2(1)A(2)B解析(1)由1log1，得x2，0x.由几何概型的概率计算公式得所求概率P.(2)方程1表示焦点在x轴上，且离心率小于的椭圆时，有即化简得又a1,5
15、，b2,4，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为，故P.跟踪演练2(1)(2)A解析(1)由得f(x)的定义域为3,1，由几何概型的概率公式，得所求概率为P.(2)若点到正方体中心的距离不大于1，则该点位于以正方体的中心为球心，半径为1的球内或球面上，所以所求概率为P.例3解(1)记“中二等奖”为事件A.从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有0,1，0,2，0,3，0,4，1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共10个基本事件记两个小球的编号之和为x，由题意可知，事件A包括两个互斥事件：x5，x6.事件x5的取法有2种，即1,4，2,3，故P(x
16、5)；事件x6的取法有1种，即2,4，故P(x6).所以P(A)P(x5)P(x6).(2)记“不中奖”为事件B，则“中奖”为事件，由题意可知，事件包括三个互斥事件：中一等奖(x7)，中二等奖(事件A)，中三等奖(x4)事件x7的取法有1种，即3,4，故P(x7)；事件x4的取法有0,4，1,3，共2种，故P(x4).由(1)可知，P(A).所以P()P(x7)P(x4)P(A).所以不中奖的概率为P(B)1P()1.跟踪演练3(1)B(2)解析(1)因为P(A)P(B)P(AB)，所以A，B之间的关系一定为互斥事件(2)九个数的编号中有5个奇数，4个偶数，两个球的编号之积为奇数的概率为，所以
17、所求概率为1.高考押题精练1B将一骰子抛掷两次，所得向上的点数(m，n)的所有事件为(1,1)，(1,2)，(6,6)，共36个由题可知，函数ymx3nx1在1，)上单调递增，所以y2mx2n0在1，)上恒成立，所以2mn，则不满足条件的(m，n)有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，共6种情况，所以满足条件的共有30种情况，则函数ymx3nx1在1，)上单调递增的概率为.2A因为Mx|1xn，有(2,1)，(3,1)，(6,5)，共1234515种情况，因此P(A).8.解析作出如图所示的可行域，易得区域的面积为101050，区域A(阴影部分)的面积为55
18、.故该点落在区域A的概率P(A).9解(1)因为是投掷两次，因此基本事件(b，c)：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个当z4时，(b，c)的所有取值为(1,3)，(3,1)，所以P(z4).(2)若方程一根为x1，则1bc0，即bc1，不成立若方程一根为x2，则42bc0，即2bc4，所以若方程一根为x3，则93bc0，即3bc9，所以若方程一根为x4，则164bc0，即4bc16，所以由知，(b，c)的所有可能取值为(1,2)，(
19、2,3)，(3,4)所以方程为“漂亮方程”的概率为P.10解(1)从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间为(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)，共18个基本事件组成由于每一个基本事件被抽取的机会均等因
20、此这些基本事件的发生是等可能的用M表示“C1恰被选中”这一事件，则M(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A1，B3，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)，(A2，B3，C1)，(A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)，(A3，B3，C1)事件M由9个基本事件组成，因而P(M).(2)用N表示“A1，B1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“A1，B1全被选中”这一事件，由于(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，事件由2个基本事件组成，所以P().由对立事件的概率公式得P(N)1P()1.11B由图形知C(1,2)，D(2,2)，S四边形ABCD6，S阴31.P
21、.12C掷一个骰子的试验有6种可能结果依题意P(A)，P(B)，P()1P(B)1.表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与互斥，从而P(A)P(A)P().13.解析区间2,3的长度为5，f(x)x22axa2.函数f(x)x3ax2(a2)x有极值等价于f(x)x22axa20有两个不等实根，即4a24(a2)0，解得a2，又a2,3，2a1或2a3，范围区间的长度为2，所求概率P.14解如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为R2(R为圆盘的半径)，阴影区域的面积为.所以，在甲商场中奖的概率为P1.如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a1，a2，a3,3个红球为b1，b2，b3，记(x，y)为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共15种，摸到的2个球都是红球有(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)共3个，所以在乙商场中奖的概率为P2.由于P1P2，所以顾客在乙商场中奖的可能性大