1、【知识重温】一、必记 3 个知识点1极坐标的概念(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点 O，叫做_，从 O 点引一条射线 Ox，叫做_，选定一个单位长度和角及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个平面极坐标系，简称为_极点极轴极坐标系(2)极坐标：对于平面内任意一点 M，用 表示线段 OM 的长，表示以Ox 为始边、OM 为终边的角度，叫做点 M 的_，叫做点M 的_，有序实数对(，)叫做点 M 的极坐标，记作 M(，)当 点 M 在 极 点 时，它 的 极 径 _，极 角 可 以 取_(3)点与极坐标的关系：平面内一点的极坐标可以有无数对，当 kZ 时，(，)，(，2k)，(，
2、(2k1)表示_，而用平面直角坐标表示点时，每一个点的坐标是唯一的如果规定 0,02，或者，那么，除极点外，平面内的点和极坐标就一一对应了极径极角0任意值同一个点2极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把平面直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的单位长度，如图所示(2)互化公式：设 M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)(0，0,2)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点 M直角坐标(x，y)极坐标(，)互化公式x_y_2_tan _在一般情况下，由 tan 确定角时，可根据点 M 所在的象限取最小正角cos si
3、n x2y2yx(x0)3常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为 r 的圆_圆心为(r,0)，半径为 r 的圆_圆心为r，2，半径为 r 的圆_r(02)2rcos 222rsin(0)过极点，倾斜角为 的直线(1)(R)或(R)(2)(0)和(0)过点(a,0)，与极轴垂直的直线_cosa过点a，2，与极轴平行的直线_过点(a,0)，倾斜角为 的直线_sina(0)sin()asin二、必明 3 个易误点1极坐标系的四要素：极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向，四者缺一不可2由极径的意义知 0，当极角 的取值范围是0,2)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(，)(0)
4、建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径 0，极角可取任意角3极坐标与直角坐标的重要区别：多值性在直角坐标系中，点与直角坐标是“一对一”的关系；在极坐标系中，由于终边相同的角有无数个，即点的极角不唯一，因此点与极坐标是“一对多”的关系，但不同的极坐标可以写出统一的表达式如果(，)是点M 的极坐标，那么(，2k)或(，(2k1)(kZ)都可以作为点 M 的极坐标考点一 直角坐标系中的伸缩变换自主练透型1求双曲线 C：x2y2641 经过：x3x，2yy变换后所得曲线 C的焦点坐标解析：设曲线 C上任意一点 P(x，y)，由上述可知，将x13x，y2y，代入 x2y2641，得x29 4y264
5、1，化简得x29 y216 1，即x29y2161 为曲线 C的方程，可见仍是双曲线，则焦点 F1(5,0)，F2(5,0)为所求2若函数 yf(x)的图象在伸缩变换：x2x，y3y的作用下得到曲线的方程为 y3sinx6，求函数 yf(x)的最小正周期解析：由题意，把变换公式代入曲线y3sinx6 得 3y3sin2x6，整理得 ysin2x6，故 f(x)sin2x6.所以 yf(x)的最小正周期为22.悟技法伸缩变换公式应用时的两个注意点(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点 P 的坐标(x，y)与变换后的点 P的坐标(x，y)，再利用
6、伸缩变换公式xx0yy0，建立联系(2)已知变换后的曲线方程 f(x，y)0，一般都要改写为方程f(x，y)0，再利用换元法确定伸缩变换公式.考点二 极坐标与直角坐标的互化自主练透型12018北京卷在极坐标系中，直线 cos sin a(a0)与圆 2cos 相切，则 a_.解析：由cosx，siny，2x2y2可将直线 cossina 化为 xya0，将 2cos，即 22cos 化为 x2y22x，整理成标准方程为(x1)2y21.又直线与圆相切，圆心(1,0)到直线 xya0 的距离 d|1a|2 1，解得 a1 2，a0，a1 2.答案：1 222018江苏卷在极坐标系中，直线 l 的
7、方程为 sin6 2，曲线 C 的方程为 4cos，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长解析：因为曲线 C 的极坐标方程为 4cos，所以曲线 C 是圆心为(2,0)，直径为 4 的圆因为直线 l 的极坐标方程为 sin6 2，则直线 l 过 A(4,0)，倾斜角为6，所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点设另一个交点为 B，则OAB 6.如图，连接 OB.因为 OA 为直径，从而OBA2，所以 AB4cos62 3.因此，直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 2 3.悟技法1.极坐标与直角坐标互化公式的 3 个前提条件(1)取直角坐标系的原点为极点(2)以 x 轴的非负半轴为极轴(3)两种坐
8、标系规定相同的长度单位2极坐标与直角坐标互化的策略(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式 xcos 及ysin 直接代入并化简即可(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如 cos，sin，2 的形式，进行整体代换.考点三 曲线的极坐标方程的应用互动讲练型例 2019全国卷在极坐标系中，O 为极点，点 M(0，0)(00)在曲线 C：4sin 上，直线 l 过点 A(4,0)且与 OM 垂直，垂足为 P.(1)当 03时，求 0 及 l 的极坐标方程；(2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程解析：(1)因为 M(0，0)在 C 上，
9、当 03时，04sin 32 3.由已知得|OP|OA|cos 32.设 Q(，)为 l 上除 P 的任意一点连接 OQ，在 RtOPQ 中，cos3|OP|2.经检验，点 P2，3 在曲线 cos3 2 上所以，l 的极坐标方程为 cos3 2.(2)设 P(，)，在 RtOAP 中，|OP|OA|cos 4cos，即 4cos.因为 P 在线段 OM 上，且 APOM，故 的取值范围是4，2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为 4cos，4，2.悟技法用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题.变式练(
10、着眼于举一反三)2019全国卷如图，在极坐标系 Ox 中，A(2,0)，B2，4，C2，34，D(2，)，弧 AB，BC，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，1，2，(1，)，曲线 M1 是弧 AB，曲线 M2 是弧 BC，曲线 M3 是弧CD.(1)分别写出 M1，M2，M3 的极坐标方程；(2)曲线 M 由 M1，M2，M3 构成，若点 P 在 M 上，且|OP|3，求 P 的极坐标解析：(1)由题设可得，弧 AB，BC，CD 所在圆的极坐标方程分别为 2cos，2sin，2cos.所以 M1 的极坐标方程为2cos 04，M2 的极坐标方程为 2sin 434，M3的极坐标方程为 2cos 34 .(2)设 P(，)，由题设及(1)知：若 0 4，则 2cos 3，解得 6；若434，则 2sin 3，解得 3或 23；若34，则2cos 3，解得 56.综上，P 的极坐标为3，6 或3，3 或3，23 或3，56.