1、1.4全称量词与存在量词课时过关能力提升一、基础巩固1.下列命题不是全称命题的是()A.任何一个实数乘以零都等于零B.每一个向量都有大小C.自然数都是正整数D.一定存在没有最大值的二次函数解析:选项A中“任何一个”、选项B中“每一个”、选项C中“都是”这三者是全称量词,故A,B,C项都是全称命题.选项D中“存在”是存在量词,故D项是特称命题.答案:D2.命题“所有实数的平方都是正数”的否定为()A.所有实数的平方都不是正数B.有的实数的平方是正数C.至少有一个实数的平方是正数D.至少有一个实数的平方不是正数答案:D3.下列命题既是特称命题,又是真命题的是()A.两个无理数的和必是无理数B.存在
2、一个实数x0,使1x0=0C.至少有一个实数x0,使x020D.存在某个实数的倒数等于它本身解析:A项为全称命题;B项1x0是不能为零的,故B是假命题;C项,x20,故不存在实数x0,使x020;x1,-1,0,2x+10;x0N,使x02x0;x0N*,使x0为29的约数.其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4答案:C6.已知下列四个命题:p1:x0(0,+),12x0log13x0;p3:x(0,+),12xlog12x;p4:x0,13,12x13x,故p1为假命题;取x0=12,则log12x0=1,log13x0=log321,故p2为真命题;取x0=18,则012x01,l
3、og12x0=log1218=3,即12x0log12x0,故p3为假命题;当x0,13时,12x1,故p4为真命题.答案:D7.命题“存在x0R,使得x02+2x0+5=0”的否定是_.答案:对于任意的xR,都有x2+2x+508.已知命题:“x01,2,使x02+2x0+a0”为真命题,则a的取值范围是.解析:当1x2时,3x2+2x8,若存在x01,2,使x02+2x0+a0为真命题,则-a8,故a-8.答案:a-89.对任意实数x,不等式2xm(x2+1)恒成立,求实数m的取值范围.分析:2xm(x2+1)恒成立,也就是对xR,mx2-2x+m0恒成立,再考虑m是否为零.若为零,则原式
4、化为-2x0,显然不恒成立;若m0,则m0,且m(x2+1)对任意x都成立,即不等式mx2-2x+m0恒成立.(1)当m=0时,不等式化为-2x0,显然不恒成立,不合题意.(2)当m0时,要使mx2-2x+m0恒成立,则m0,(-2)2-4m20,解之,得m-1.综上可知,所求实数m的取值范围为m-1.二、能力提升1.已知命题p:xR,2x2+2x+120.给出下列结论:命题pq是真命题;命题p(q)是假命题;命题(p)q是真命题;命题(p)(q)是假命题.其中正确的是()A.B.C.D.解析:p假q真,p真, q假.p(q)为假命题,( p)q为真命题.答案:A3.下列命题中,假命题是()A
5、.xR,21-x0B.R,使函数y=x的图象关于y轴对称C.函数y=x的图象经过第四象限D.x(0,+),使2xx解析:对A,由指数函数性质可知是真命题.对B,当=2时,y=x的图象关于y轴对称,B是真命题;对C,当x0时,y=x0恒成立,从而其图象不过第四象限,C是假命题.对D,在同一坐标系下作出函数y=2x与y=x的图象可知D是真命题.答案:C4.已知命题p:“对xR,mR,使4x+2xm+1=0”.若命题p是假命题,则实数m的取值范围是()A.-2m2B.m2C.m-2D.m-2或m2解析:p是假命题,p是真命题.m=-2x+12x-2(当且仅当2x=12x时,等号成立).答案:C5.给
6、出下列四个命题:有理数是实数;有些平行四边形不是菱形;xR,x2-2x0;有一个素数含有三个正因数.以上命题的否定为真命题的是.(填序号)解析:由题意可知命题是真命题,为假命题,又命题与它的否定一真一假,可得的否定为真命题.答案:6.已知命题p:“x1,2,x2-a0”,命题q:“x0R,x02+2ax0+2-a=0”,若命题“pq”是真命题,则实数a的取值范围是.解析:由命题“pq”是真命题,可知命题p与命题q都是真命题,则有a1,(2a)2-4(2-a)0,解得a-2或a=1.答案:a-2或a=17.写出下列命题的否定,并判断其真假:(1)p:不论m取何实数,方程x2+x+m=0必有实数根
7、;(2)q:存在一个实数x0,使得x02+x0+10;(3)r:等圆的面积相等,周长相等;(4)s:对任意角,都有sin2+cos2=1.解:(1)p:存在实数m0,使方程x2+x+m0=0没有实数根.是真命题.(2)q:对任意实数x,都有x2+x+10.是真命题.(3)r:存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等.是假命题.(4)s:存在一个角0,使sin20+cos201.是假命题.8.已知p:ax2+2x+10,若对xR,p是真命题,求实数a的取值范围.分析:由题意可知,对xR,ax2+2x+10恒成立.先考虑a=0的情况,再考虑a0的情况.当a0时,可结合二次函数的图象解决此类问题.解:由题意可得,xR,ax2+2x+10恒成立.(1)当a=0时,ax2+2x+1=2x+10,显然不恒成立,不符合题意.(2)当a0时,要使ax2+2x+10恒成立,则a0,4-4a1.综上可知,所求实数a的取值范围是(1,+).