1、2017届高中毕业班4月模拟考试卷理科数学第卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，集合，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】集合，集合 ，则故选：D点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错2. 复数在映射下的象为，则的原象为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】设的原象为
2、，则，即，故，解得：，故的原象为，故选：A3. 已知向量，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由“”可得向量，同向共线，因此“”是“”的必要不充分条件故选：B点睛：本题考查了向量共线、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4. 甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点，丁车最后到达终点.若甲、乙两车的图象如图所示，则对于丙、丁两车的图象所在区域，判断正确的是( )A. 丙在区域，丁在区域 B. 丙在区域，丁在区域C. 丙在区域，丁在区域 D. 丙在区域，丁
3、在区域【答案】A【解析】由图可得：丙车最先到达终点，丁车最后到达终点，丙车速度最大，丁车速度最小，由几何意义可得丙车所在直线的倾斜角最大，丁车所在直线的倾斜角最小，故选A.5. 若，且为第二象限角，则的值等于( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】，且为第二象限角，,则 , 故选D6. 已知定义在上的函数，记，则的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】，的大小关系为，故选D.7. 执行如图的程序框图，那么输出的值是( )A. -1 B. C. 2 D. 1【答案】C【解析】判断20142017,执行 ；判断20152017,执行 ；判断20162017,执行 ；判断
4、20172017,执行输出S,S=2；故选C点睛：本题考查的是算法与流程图，侧重于对流程图循环结构的考查.解决问题要先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8. 在中，内角的对边分别为.若，则等于( )A. 或 B. C. D. 【答案】C【解析】，由正弦定理可得：，为锐角，故选C.9. 某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图，可得该几何体是由一个正方体（棱长为2）和一个半球（半径为1）组合而成，其表
5、面积为；故选A.10. 如图，在三棱锥中，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】在三棱锥中，因为，所以，则该几何体的外接球即为以为棱长的长方体的外接球，则 ，其体积为 ；故选D.点睛：在处理几何体的外接球问题，往往将所给几何体与正方体或长方体进行联系，常用补体法补成正方体或长方体进行处理，本题中由数量关系可证得 从而几何体的外接球即为以为棱长的长方体的外接球，也是处理本题的技巧所在.11. 已知点是以为焦点的椭圆上一点，若，则椭圆的离心率是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图所示：，根据椭圆的定义，又，由勾股定理得：，
6、即，故选C.点睛：本题主要考查了椭圆的定义的应用，椭圆离心率的求法，属于基础题；椭圆的离心率反映的是椭圆的扁平程度，通常是得出关于的齐次方程来计算，在该题中，用，表示出各边，根据勾股定理列方程得出与的关系即可求出离心率.12. 若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象，则称为“开心数”.例如：32是“开心数”.因不产生进位现象；23不是“开心数”，因产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为( )A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】D【解析】根据题意个位数需要满足要求：n+（n+1）+（n+2）10，即n2.3，个位数可取0，1，2三个数，十位数需要满足：3n10，n3.
7、3，十位可以取0，1，2，3四个数，故四个数的“开心数”共有34=12个故选：D点睛：本题主要考查排列组合的简单计数问题，题目中定义了一个新的概念，对于此类题目要注意认真理解概念再做题目属于中档题目题考查推理能力，考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，考查命题的真假判断及应用，是中档题第卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知变量满足约束条件，则目标函数的最小值是_.【答案】1【解析】将化为，作出可行域和目标函数基准直线，当直线向右上方平移时，直线在轴上的截距增大，由图象，得当直线过点时，取得最小值.14. 已知，在函数与的图象的交点中，相邻两个交点的
8、横坐标之差的绝对值为2，则_.【答案】【解析】令，可得：，即，当时，可得一个零点，当时，可得二个零点，那么：，可得，故答案为.15. 已知函数，如果成立，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】因为恒成立，所以在R上递增，又，所以为奇函数，则，可化为，由递增，得，解得：0a，故答案为：16. 设圆满足：（1）截轴所得弦长为2；（2）被轴分成两段圆弧，其弧长的比为.在满足条件（1）、（2）的所有圆中，圆心到直线的距离最小的圆的方程为_.【答案】或【解析】设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90，知圆P截X轴所得的弦长
9、为，故r2=2b2，又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2+1从而得2b2a2=1又点P（a，b）到直线x2y=0的距离为，所以5d2=|a2b|2=a2+4b24aba2+4b22（a2+b2）=2b2a2=1，当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值由此有，解此方程组得或由于r2=2b2知于是，所求圆的方程是（x1）2+（y1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2解法二：同解法一，得，得将a2=2b21代入式，整理得把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即=8（5d21）0，得5d215d2有最小值1，从而d有最小值将其代入式得2b24b+2=
10、0解得b=1将b=1代入r2=2b2，得r2=2由r2=a2+1得a=1综上a=1，b=1，r2=2由|a2b|=1知a，b同号于是，所求圆的方程是（x1）2+（y1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2点睛：本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力易错的地方，P到x轴，y轴的距离，不能正确利用基本不等式三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知中，分别是角的对边，有.（1）求角的大小；（2）若等差数列中，设数列的前项和为，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据题意由余弦定理a2=b2+c22b
11、ccosA，可求得cosA的值，再利用A为ABC中的角，即可求得A（2）利用等差数列的定义即可求出数列an的通项公式，利用裂项求出和，求出Sn，由nN+和Sn单调性可求出Sn的取值范围试题解析：（1），又，；（2）证明:由（1）知，设等差数列的公差为， ， .显然为递减数列，故为递增数列，故的最小值为.故.点睛：本题考查余弦定理和等差数列的通项公式和裂项求和，还考查了函数的单调性，裂项求和是最重要的数列求和方法这一属于中档题18. 某特色餐馆开通了美团外卖服务，在一周内的某特色菜外卖份数（份）与收入（元）之间有如下的对应数据：外卖份数（份）24568收入（元）3040605070（1）画出散点
12、图；（2）求回归直线方程；（3）据此估计外卖份数为12份时，收入为多少元.注：参考公式：线性回归方程系数公式，；参考数据：，.【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)外卖份数为12份时，收入大约为95.5元.【解析】试题分析：(1)根据表中数据,作出散点图即可;(2)计算、,求出回归系数,写出回归直线方程;(3)由回归直线方程,计算x=12时的值即可.试题解析： （1）作出散点图如下图所示：（2），已知，由公式，可求得，因此回归直线方程为；（3）时，即外卖份数为12份时，收入大约为95.5元19. 如图，三棱柱中，平面，分别为和的中点，是边长为2 的正三角形，.（1）证明：平面；（2）求二面角
13、的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）取AB的中点H，连接HM，CH，证明四边形CDMH是平行四边形得出DMCH，从而有DM平面ABC；（2）取BB1中点E，以E为原点建立坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的大小试题解析：（1）证明:取的中点，连接，分别为和的中点，则四边形是平行四边形，则.平面，平面，平面；（2）取中点，为等边三角形， .又平面，平面，建立以为坐标原点，分别为轴的空间直角坐标系如图:则 ，则设平面的法向量为，则，即令，则，即，平面的法向量为，则，得，即，令，则，即，则 ，即二面角的余弦值是.20. 设点，动圆经过点且和直
14、线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设曲线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点.若是的切线，求的最小值.【答案】(1)；(2). 试题解析：（1）过点作直线垂直于直线于点，由题意得，所以动点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线.所以抛物线的方程为.（2）由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为.则，当，则.联立方程，整理得：.即：，解得或.，而，直线斜率为. ，联立方程，整理得：，即：，解得：，或. .而抛物线在点处切线斜率：，是抛物线的切线， ，整理得，解得(舍去)，或，.21. 已知函数.（1）若函数存在单调递减区间，求实数的取
15、值范围；（2）设是函数的两个极值点，若，求的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，问题转化为有解，根据不等式的性质求出a的范围即可；（2）求出函数的导数，得到f（x1）f（x2）=，设，令，根据函数的单调性求出函数的极大值即可试题解析：（1）， ，由题意知在上有解，即有解，当且仅当时等号成立，要使有解，只需要的最小值小于，解得实数的取值范围是.（2）， ，由题意知在上有解，设，又，.则 ，设，令，则，在上单调递减， .，由得，故的最大值为.点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分
16、的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）求直线与曲线的交点的直角坐标.【答案】(1)直线的直角坐标方程为；曲线的普通方程为.(2)，.【
17、解析】试题分析：（1）直线的参数方程消去参数能求出直角坐标方程；曲线的极坐标方程化为，利用，能求出曲线的普通方程；（2）曲线的直角坐标方程为，与直线联立方程组，由此能求出直线与曲线的交点的直角坐标.试题解析：（1）直线的参数方程为，代入，即.直线的直角坐标方程为；曲线的极坐标方程为，.即.（2）曲线的直角坐标方程为，解得或.直线与曲线的交点的直角坐标为，.点睛：本题考查直线的直角坐标方程、曲线的普通方程的求法，直线与曲线的交点的直角坐标的求法，涉及到极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，将极坐标方程和普通坐标互化主要通过来实现，参数方程化为直角坐标方程主要通过消参法来实现.23. 设函数.（1）若时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的值.【答案】(1)；(2)或.【解析】试题分析：（1）利用零点分段讨论法进行求解；（2）先利用的一个根是求出值，再进行验证求解.（2）因为不等式的解集为，的一个根是，或.时，由解得，符合题意，时，由 ，解得，符合题意，综上所述，或.
