1、第4讲不等式与线性规划1(2014浙江)已知函数f(x)x3ax2bxc，且0f(1)f(2)f(3)3，则()Ac3 B3c6C692(2015广东)若变量x，y满足约束条件则z3x2y的最小值为()A4 B. C6 D.3(2015浙江)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且xyz，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且abc.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()Aaxbycz BazbycxCaybzcx Daybxcz4(2015重庆)设a，b0，ab5，则的
2、最大值为_1.利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点；2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数取值范围；3.利用不等式解决实际问题.热点一不等式的解法1一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2bxc0(a0)，再求相应一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集2简单分式不等式的解法(1)0(0(0)；(2)0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0.3指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解例1(1)已知一元二次不等式f(x)0的解集为()Ax|xl
3、g 2Bx|1xlg 2Dx|x0的解集为()Ax|x2或x2 Bx|2x2Cx|x4 Dx|0x4思维升华(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论跟踪演练1(1)关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a_.(2)已知f(x)是R上的减函数，A(3，1)，B(0,1)是其图象上两点，则不等式|f(1ln x)|0，y0，xy
4、p(定值)，当xy时，xy有最小值2(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x0，y0，xys(定值)，当xy时，xy有最大值s2(简记为：和定，积有最大值)例2(1)已知向量a(3，2)，b(x，y1)，且ab，若x，y均为正数，则的最小值是()A. B.C8 D24(2)已知关于x的不等式2x7在x(a，)上恒成立，则实数a的最小值为()A1 B.C2 D.思维升华在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误跟踪演练2(1)(2015
5、天津)已知a0，b0，ab8，则当a的值为_时，log2alog2(2b)取得最大值(2)若直线2axby20(a0，b0)被圆x2y22x4y10截得的弦长为4，则的最小值是_热点三简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决例3(1)(2015北京)若x，y满足则zx2y的最大值为()A0 B1C. D2(2)(2014安徽)x，y满足约束条件若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()A.或1 B2或C2或1 D2或1思维升华(1)线性规划
6、问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围(2)一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得跟踪训练3已知x，y满足且目标函数z2xy的最小值为9，则实数a的值是()A1 B2C3 D71若点A(a，b)在第一象限，且在直线x2y1上，则ab的最大值为()A1 B. C. D.2已知A(1，1)，B(x，y)，且实数x，y满足不等式组则z的最小值为()A2 B2C4 D63已知函数f(x)则不等式f(x)4的解集为_4已知不等式|a2a|对于x2,6恒成立，则a的取值范围是_提醒：完成作业专题三第4讲二轮专题强化练专题三第4讲 不等
7、式与线性规划A组专题通关1下列选项中正确的是()A若ab，则ac2bc2B若ab0，ab，则b，cd，则b，cd，则acbd2不等式x2x0在区间1,5上有解，则实数a的取值范围为()A(，) B，1C(1，) D(，1)6已知函数f(x)那么不等式f(x)1的解集为_7(2015绵阳市一诊)某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本C与产量q(qN*)的函数关系式为C1004q，销售单价p与产量q的函数关系式为p25q.要使每件产品的平均利润最大，则产量q_.8已知正实数a，b满足a2b1，则a24b2的最小值为_9设集合A为函数yln(x22x8)的定义域，集合B为函数yx的值域，集合
8、C为不等式(ax)(x4)0的解集(1)求AB；(2)若CRA，求a的取值范围10运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米(按交通法规限制50x100)(单位：千米/小时)假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2)升，司机的工资是每小时14元(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值B组能力提高11(2015陕西)设f(x)ln x,0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()Aqrp BqrpCprq Dprq12(2015课标全国)若x，y满足约束条件则的最大值为_13(2015浙江)若实数
9、x，y满足x2y21，则|2xy2|6x3y|的最小值是_14图(1)是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成如图(2)所示的模型，其中桥塔AB，CD与桥面AC垂直，通过测量得知AB50 cm，AC50 cm，当P为AC中点时，BPD45.(1)求CD的长；(2)试问点P在线段AC的何处时，BPD达到最大？学生用书答案精析第4讲不等式与线性规划高考真题体验1C由题意得化简得解得所以f(1)c6，所以0c63，解得6c9，故选C.2B不等式组所表示的可行域如下图所示，由z3x2y得yx，依题当目标函数直线l：yx经过A时，z取得最小值
10、即zmin312，故选B.3B令x1，y2，z3，a1，b2，c3.A项：axbycz14914；B项：azbycx34310；C项：aybzcx26311；D项：aybxcz22913.故选B.43解析a，b0，ab5，()2ab42ab4()2()2ab4ab418，当且仅当a，b时，等号成立，则3，即最大值为3.热点分类突破例1(1)D(2)C解析(1)由已知条件010x，解得x0.f(2x)0即ax(x4)0，解得x4.故选C.跟踪演练1(1)(2)(，e2)解析(1)由x22ax8a20，得(x2a)(x4a)0，所以不等式的解集为(2a,4a)，即x24a，x12a，由x2x115
11、，得4a(2a)15，解得a.(2)|f(1ln x)|1，1f(1ln x)1，f(3)f(1ln x)f(0)，又f(x)在R上为减函数，01ln x3，1ln x2，x0，y0，()(2x3y)(66)(1226)8.当且仅当3y2x时取等号(2)2x2(xa)2a22a42a，由题意可知42a7，得a，即实数a的最小值为，故选B.跟踪演练2(1)4(2)4解析(1)log2alog2(2b)log2a(1log2b)2224，当且仅当log2a1log2b，即a2b时，等号成立，此时a4，b2.(2)易知圆x2y22x4y10的半径为2，圆心为(1,2)，因为直线2axby20(a0，
12、b0)被圆x2y22x4y10截得的弦长为4，所以直线2axby20(a0，b0)过圆心，把圆心坐标代入得：ab1，所以()(ab)24，当且仅当，ab1，即ab时等号成立例3(1)D(2)D解析(1)可行域如图所示目标函数化为yxz，当直线yxz过点A(0,1)时，z取得最大值2.(2)如图，由yaxz知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a0时，要使zyax取得最大值的最优解不唯一，则a2；当a0，b0，且a2b1，所以aba2b()2，当且仅当a2b，即a，b时，“”成立故选D.2C画出不等式组所表示的可行域为如图所示的ECD的内部(包括边界)，其中E(2,6)，C(2,0)，D(0,
13、2)目标函数zxy.令直线l：yxz，要使直线l过可行域上的点且在y轴上的截距z取得最大值，只需直线l过点E(2,6)此时z取得最小值，且最小值zmin264.故选C.3x|14x2或x解析由题意得或解得x或14x2，故不等式f(x)4的解集为x|14xb，取c0，则ac2bc2不成立，排除A；取a2，b1，c1，d2，则选项C不成立，排除C；取a2，b1，c1，d1，则选项D不成立，排除D.选B.2C根据题意，由于不等式x2x对任意a，b(0，)恒成立，则x2x()min，22，x2x0在区间1,5上有解，则应满足f(5)0，解得a.所以a0；若0即a0在区间1,5上有解，也应满足f(5)0
14、，解得a.所以a0在1,5上有解可转化为ax在1,5上有解，设f(x)x，x1,5，易知f(x)为减函数，f(x)minf(5)，af(x)min，故a的取值范围是(，)6(，03，)解析当x0时，由log3x1可得x3，当x0时，由()x1可得x0，不等式f(x)1的解集为(，03，)740解析每件产品的利润y25q29()29224，当且仅当且q0，即q40时取等号8.解析方法一a24b28.当且仅当a2b时等号成立方法二因为1a2b2ab，当且仅当a2b时取等号又因为a24b22a(2b)4ab.令tab，所以f(t)4t在(0，上单调递减，所以f(t)minf().此时a2b.9解(1
15、)由x22x80得4x0，即x1时y211，此时x0，符合要求；当x10，即x0时，Cx|4x，不可能CRA；当a0时，Cx|x4或x，若CRA，则2，a2，a0.故a的取值范围为，0)10解(1)行车所用时间为t(h)，y2(2)14，x50,100所以，这次行车总费用y关于x的表达式是yx，x50,100(2)yx26，当且仅当x，即x18时，上述不等式中等号成立故当x18时，这次行车的总费用最低，最低费用为26元11C0ab，又f(x)ln x在(0，)上为增函数，故ff()，即qp.又r(f(a)f(b)(ln aln b)ln aln bln(ab)f()p.故prq.选C.123解
16、析画出可行域如图阴影所示，表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，点(x，y)在点A处时最大由得A(1,3)的最大值为3.133解析满足x2y21的实数x，y表示的点(x，y)构成的区域是单位圆及其内部f(x，y)|2xy2|6x3y|2xy2|6x3y直线y2x2与圆x2y21交于A，B两点，如图所示，易得B.设z14x2y，z283x4y，分别作直线yx和yx并平移，则z14x2y在点B取得最小值为3，z283x4y在点B取得最小值为3，所以|2xy2|6x3y|的最小值是3.14解(1)设BPA，DPC，CDh cm，则tan 2，tan ，由题意得，tan()1，解得h75.故CD的长为75 cm.(2)设APx cm(0x0，tanBPD0，即BPD为锐角令tx100100,150，则xt100，tanBPD，tanBPD，当且仅当t，即t25100,150时等号成立，AP(25100)cm时，BPD最大