1、章末整合提升网络构建理脉落知识整合悟素养1空间向量的加减运算(1)空间向量可以看作是平面向量的推广，注意空间向量的三维多向性，有许多概念的定义是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量(2)空间向量的加减法的法则仍是三角形法则和平行四边形法则，即转化为平面向量的加减法，这是因为空间的任意两个向量都是共面的2空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件(1)空间向量的数乘运算，平行向量的概念、向量平行的充要条件与平面向量的性质是一致的(2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线向量共面特别地，空间一点位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使xy.3空间
2、向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式ab|a|b|cosa，b及其变式cosa，b是两个重要公式(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a2|a|2，a在b上的投影等4线面位置关系用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法如下(1)线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量(2)线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，则abab0.(3)线面平行用向量证明线面平行的方法主要有证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量将直线的方向
3、向量线性表示(4)线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有证明直线的方向向量与平面的法向量平行；利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题(5)面面平行证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；转化为线面平行、线线平行问题(6)面面垂直证明两个平面的法向量互相垂直；转化为线面垂直、线线垂直问题5空间角(1)求异面直线所成的角设两异面直线的方向向量分别为n1，n2，那么这两条异面直线所成的角为n1，n2或n1，n2，故cos|cosn1，n2|.(2)求二面角的大小如图，设平面，的法向量分别为n1，n2.因为两平面的法向量所成的角(或其补角)就等于平面，所成的锐二面角，所以cos|cosn1，n2|
4、.(3)求斜线与平面所成的角如图，设平面的法向量为n1，斜线OA的方向向量为n2，斜线OA与平面所成的角为，则sin|cosn1，n2|.6空间距离(1)用直线的方向向量与投影构造直角三角形求点线距离(2)用法向量求点到平面的距离已知AB是平面的一条斜线，n为平面的法向量，B，则A到平面的距离为d.(3)用法向量求直线到平面的距离首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化为直线上一点到平面的距离问题(4)用法向量求两平行平面间的距离首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化为点到平面的距离问题专题突破启智能专题 空间向量的基本概念和几何
5、运算1空间向量的加减运算空间向量的加、减法的法则仍是三角形法则和平行四边形法则，即转化为平面向量的加减法，这是因为空间的任意两个向量都是共面的2空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件(1)空间向量的数乘运算、平行向量的概念、向量平行的充要条件与平面向量的性质是一致的(2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线的向量共面，特别地，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使xy.3空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式ab|a|b|cosa，b及其变式cosa，b是两个重要公式(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，
6、如|a|2a2，a在b上的投影等典例1(1)在以下命题中，不正确的是_.|a|b|ab|是a、b共线的充要条件；若ab，则存在唯一的实数，使ab；对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若22，则P、A、B、C四点共面；若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底；|(ab)c|a|b|c|.(2)如图，斜三棱柱OABCA1B1中向量a，b，c，三个向量之间的夹角均为，点M、N分别在CA1、BA1上，且，|2，|2，|4.把向量用向量a、c表示出来，并求|；把向量用a、b、c表示；求AM与ON所成角的余弦值解析(1)(2)ac，因为ac|a|c|cos244，所以(a
7、c)2a2acc222442.所以|.因为，所以N为A1B的中点，所以()(OO)(abc)因为ab22cos2，acbc4，所以AO(ac)(abc)(a2abacacbcc2)(4244442)，又|2(a2b2c22ab2ac2bc)(222242222424)11，所以|.所以cos，所以AM与ON所成角的余弦值为.例题2(福州市八县市协作校20182019学年高二期末)如图，平面六面体ABCDA1B1C1D1中，AC与BD交于点M，设a，b，c，则(D)AabcBabcCabcDabc解析，()cab.故选D专题空间向量的坐标运算熟记空间向量的坐标运算公式设a(x1，y1，z1)，b
8、(x2，y2，z2)，(1)加减运算：ab(x1x2，y1y2，z1z2)(2)数量积运算：abx1x2y1y2z1z2.(3)向量夹角：cosa，b.(4)向量长度：设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，则|.典例3(1)已知a(2,3，4)，b(4，3，2)，bx2a，则x(B)A(0,3，6)B(0,6，20)C(0,6，6)D(6,6，6)(2)已知ab(2，2)，ab(0，0)，则cosa，b(A)ABCD解析(1)bx2ax2b4a2(4，3，2)4(2,3，4)(8，6，4)(8,12，16)(0,6，20)(2)ab(2，2)，ab(0，0)a(1，)，b(1,
9、0，)cosa，b.专题利用空间向量解决平行与垂直问题空间中的平行与垂直关系，是高考的重点题型，有些问题中的线面平行与垂直关系，使用向量将几何证明与计算转化为纯代数运算，使问题得以简化典例4如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是面对角线B1D1、A1B上的点，且D1E2EB1，BF2FA1.(1)求证：直线EFAC1；(2)若EF是两异面直线B1D1、A1B的公垂线，求证：该长方体为正方体解析(1)证明：以DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系设DAa，DCb，DD1c，则得下列各点的坐标，A(a,0,0)、C1(0，b，c)、E(，c)、
10、F(a，)从而(，)、(a，b，c)，.又FE与AC1不共线，所以直线EFAC1.(2)D1(0,0，c)、B1(a，b，c)、A1(a,0，c)、B(a，b,0)，(a，b,0)、(0，b，c)EF是两异面直线B1D1，A1B的公垂线，即，化简，得a2b2c2，abc.所以该长方体为正方体专题利用空间向量求空间角(1)求两异面直线所成的角设a、b分别是异面直线l1，l2上的方向向量，为l1，l2所成的角，则cos|cosa，b|.(2)求直线与平面所成的角设l为平面的斜线，a为直线的方向向量，n为平面的法向量，为l与所成的角，则sin|cosa，n|.(3)求二面角设n1、n2分别是平面、的
11、法向量，二面角为，则n1，n2或n1，n2(需要根据具体图形判断是相等还是互补)典例5(2017全国理，19)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90，E是PD的中点(1)证明：直线CE平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角MABD的余弦值解析(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF.因为E是PD的中点，所以EFAD，EFAD.由BADABC90得BCAD，又BCAD，所以EFBC，四边形BCEF是平行四边形，CEBF.又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB.(2)解：由已知得B
12、AAD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，)，(1,0，)，(1,0,0)设M(x，y，z)(0x1)，则(x1，y，z)，(x，y1，z)因为BM与底面ABCD所成的角为45，而n(0,0,1)是底面ABCD的法向量，所以|cos，n|sin45，即(x1)2y2z20.又M在棱PC上，设，则x，y1，z.由解得(舍去)，或所以M(1，1，)，从而(1，1，)设m(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则即所以可取m(0，2)于是cosm，n.由图观察可知，二面角为锐角
13、，因此二面角MABD的余弦值为.例题6(2019天津理，17)如图，AE平面ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，ABAD1，AEBC2.(1)求证：BF平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(3)若二面角EBDF的余弦值为，求线段CF的长解析(1)证明：依题意，(1,0,0)是平面ADE的法向量，又(0,2，h)，可得0，又因为直线BF平面ADE，所以BF平面ADE.(2)解：依题意，(1,1,0)，(1,0,2)，(1，2，2)设n(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即不妨令z1，可得n(2,2,1)因此有cos，n.所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.(3)
14、解：设m(x1，y1，z1)为平面BDF的法向量，则即不妨令y11，可得m.由题意，有|cosm，n|，解得h.经检验，符合题意所以，线段CF的长为.专题利用空间向量求空间距离(1)空间距离有两点距、点线距、点面距、线线距、线面距和面面距六种情况，高考中以两点距与点面距为重点考查，而线面距、面面距通常可转化为点面距求解(2)两点距一般利用向量模求解，即利用两点间距离公式，而点面距主要利用平面法向量求解，有时也利用等体积转化法求解典例7如图所示，在长方体OABCO1A1B1C1中，OA2，AB3，AA12，E是BC的中点(1)求直线AO1与B1E所成角的余弦值；(2)作O1DAC于D，求点O1到
15、点D的距离解析如图所示，建立空间直角坐标系(1)由题设知，A(2,0,0)、O1(0,0,2)、B1(2,3,2)、E(1，3,0)，(2,0,2)、(1,0，2)cos.AO1与B1E所成角的余弦值为.(2)由题意得，.C(0,3,0)，设D(x，y,0)，(x，y，2)、(x2，y,0)、(2,3,0)，.D(，0)|.典例8如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点(1)求证：AB1平面A1BD；(2)求二面角AA1DB的余弦值；(3)求点C到平面A1BD的距离思路分析ABC为正三角形，且平面ABC平面BCC1B1，故可取BC中点O，以O为原点建立恰当的坐标系，借
16、助向量来解决解析(1)证明：如图，取BC的中点O，连接AO.因为ABC为正三角形，所以AOBC.因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1.取B1C1中点O1，以O为原点，、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)、D(1,1,0)、A1(0,2，)、A(0,0，)、B1(1,2,0)、C(1,0,0)，所以(1,2，)、(2,1,0)、(1,2，)因为2200，1430，所以，即AB1BD，AB1BA1，又BD与BA1交于点B，所以AB1平面A1BD.(2)连接AD，设平面A1AD的法向量为n(x，y，z)(1,1，
17、)，(0,2,0)因为n，n，所以，即，解之可得.令z1，得n(，0,1)为平面A1AD的一个法向量由(1)知AB1平面A1BD，所以为平面A1BD的法向量cosn，故二面角AA1DB的余弦值为.(3)由(2)知为平面A1BD的法向量，因为(2,0,0)，(1,2，)，所以点C到平面A1BD的距离d.即时巩固1若平面，则下面可以是这两个平面法向量的是(D)An1(1,2,3)，n2(3,2,1)Bn1(1,2,2)，n2(2,2,1)Cn1(1,1,1)，n2(2,2,1)Dn1(1,1,1)，n2(2，2，2)解析，平面与的法向量平行，又n2(2，2，2)，n1(1,1,1)，n22n1，n
18、1n2，故选D2已知线段MN的两端点坐标为M(3，2,2)、N(1,2,2)，则线段MN与坐标平面(A)AxOy平行BxOz平行CyOz平行DyOz相交解析(1,2,2)(3，2,2)(2,4,0)，平面xOy.3若平面的一个法向量为u1(3，y,2)，平面的一个法向量为u2(6，2，z)，且，则yz_3_.解析由题意，得，y1，又，z4，yz3.4如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，则AB1与C1B所成的角的大小为_90_.解析取AC的中点D，建立如图坐标系，设ABa，则B(a,0,0)、C1(0，a)、A(0，0)、B1(a,0，a)(a，a)、(a，a)cos，0.AB1
19、与C1B所成的角为90.5(陕西汉中市汉台中学20172018学年联考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1 中，AA1C1C是边长为4的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(1)求证：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)求点C到平面A1BC1的距离证明(1)因为AA1C1C为正方形，所以AA1AC.因为平面ABC平面AA1C1C，且平面ABC平面AA1C1CAC，所以AA1平面ABC.(2)由(1)知，AA1AC，AA1AB.由题意知AB3，BC5，AC4，所以ABAC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，则即令z3，则x0，y4，所以n(0,4,3)同理可得，平面B1BC1的法向量为m(3,4,0)所以cosm，n.由题知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为.(3)由(2)知平面A1BC1的法向量为n(0,4,3)，(0,0,4)，所以点C到平面A1BC1距离d
