1、第三章 单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分每小题中只有一项符合题目要求)1若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为3xy10，则()Af(x0)0Bf(x0)0Cf(x0)0 Df(x0)不存在答案B2设曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，则实数a等于()A2 B.C D2答案D解析y1，y，曲线y在点(3,2)处的切线的斜率为ky|x3.由题意知axy10的斜率为k2，a2，故选D.3函数yxex的单调递增区间是()A1，) B(，1C1，) D(，1答案A解析令yex(1x)0，又ex0，1x0，x1，故选A.4若三次函数yax3x在R上
2、是减函数，则()Aa0 Ba1Ca2 Da答案A解析y3ax21，由y0，得3ax210.a0.5已知函数f(x)则f(x)dx()A. B1C2 D.答案D6若函数f(x)2xlnx，且f(a)0，则2aln2a()A1 B1Cln2 Dln2答案B解析f(x)2xln2，由f(a)2aln20，得2aln2，则a2aln21，即2aln2a1.7已知函数f(x)exmx1的图像为曲线C，若曲线C存在与直线yx垂直的切线，则实数m的取值范围是()Am2 Bm2Cm Dm答案B解析因为函数f(x)exmx1的图像为曲线C，若曲线C存在与直线yx垂直的切线，即说明exm2有解，mex2，则实数m
3、的取值范围是m2，故选B.8若函数f(x)x2ax在(，)上是增函数，则实数a的取值范围是()A1,0 B1，)C0,3 D3，)答案D解析由条件知f(x)2xa0在(，)上恒成立，即a2x在(，)上恒成立函数y2x在(，)上为减函数，ymax23.a3.故选D.9设三次函数f(x)的导函数为f(x)，函数yxf(x)的图像的一部分如图所示，则()Af(x)的极大值为f(，极小值为f()Bf(x)的极大值为f()，极小值为f()Cf(x)的极大值为f(3)，极小值为f(3)Df(x)的极大值为f(3)，极小值为f(3)答案D解析由函数yxf(x)的图像可知，x(，3)，f(x)0，f(x)单调
4、递增；x(3，)，f(x)0，f(x)单调递减，选D.10若f(x)，eaf(b) Bf(a)f(b)Cf(a)1答案A解析f(x)，当xe时，f(x)f(b)，故选A.11若a2，则函数f(x)x3ax21在区间(0,2)上恰好有()A0个零点 B1个零点C2个零点 D3个零点答案B解析f(x)x22ax，且a2，当x(0,2)时，f(x)0，f(2)4a0，f(x)在(0,2)上恰好有1个零点故选B.12.已知函数f(x)x3ax2bx(a，bR)的图像如图所示，它与x轴相切于原点，且x轴与函数图像所围成区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为()A1 B0C1 D2答案A解析方法一：因为
5、f(x)3x22axb，函数f(x)的图像与x轴相切于原点，所以f(0)0，即b0，所以f(x)x3ax2，令f(x)0，得x0或xa(a0)因为函数f(x)的图像与x轴所围成区域的面积为，所以(x3ax2)dx，所以(x4ax3)，所以a1或a1(舍去)，故选A.方法二：因为f(x)3x22axb，函数f(x)的图像与x轴相切于原点，所以f(0)0，即b0，所以f(x)x3ax2.若a0，则f(x)x3，与x轴只有一个交点(0,0)，不符合所给的图像，排除B；若a1，则f(x)x3x2x2(x1)，与x轴有两个交点(0,0)，(1,0)，不符合所给的图像，排除C；若a2，则所围成的面积为 (
6、x32x2)dx(x4x3) ，排除D.故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13已知曲线yx32与曲线y4x21在xx0处的切线互相垂直，则x0的值为_答案解析两曲线在x0处切线互相垂直，(x)(8x0)1.x0.14已知f(x)x(1|x|)，则f(1)f(1)_.答案9解析当x0时，f(x)x2x，f(x)2x1，则f(1)3.当x0，此时f(x)在x0，上单调递增，最大值f()a，解得a1，符合题意，故a1.f(x)xsinx在x(0，)上的零点个数即为函数ysinx，y的图像在x(0，)上的交点个数又x时，sin10，所以两图像在x(0，)内
7、有2个交点，即f(x)xsinx在x(0，)上的零点个数是2.16若对定义在R上的函数f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，则称函数f(x)为“H函数”给出下列函数：yx3x1; y3x2(sinxcosx)；yex1; f(x)以上函数是“H函数”的所有序号为_答案解析因为x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，即(x1x2)f(x1)f(x2)0，所以函数f(x)在R上是增函数由y3x210，得x0恒成立，所以为“H函数”；由yex0恒成立，所以为“H函数”；由于为偶函数，所以不可能在R上是增函数，所以不
8、是“H函数”综上可知，是“H函数”的有.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)已知函数f(x)ax2blnx在x1处有极值.(1)求a，b的值；(2)判断函数yf(x)的单调性并求出单调区间答案(1)a，b1(2)单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，)解析(1)因为函数f(x)ax2blnx，所以f(x)2ax.又函数f(x)在x1处有极值，所以即解得(2)由(1)可知f(x)x2lnx，其定义域是(0，)，且f(x)x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值所以函数
9、yf(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，)18(本题满分12分)已知函数f(x)x2mlnx.(1)若函数f(x)在(，)上是单调递增的，求实数m的取值范围；(2)当m2时，求函数f(x)在1，e上的最大值和最小值答案(1)m(2)最大值，最小值1ln2解析(1)若函数f(x)在(，)上是增函数，则f(x)0在(，)上恒成立而f(x)x，即mx2在(，)上恒成立，即m.(2)当m2时，f(x)x.令f(x)0，得x.当x1，)时，f(x)0，故x是函数f(x)在1，e上唯一的极小值点，故f(x)minf()1ln2.又f(1)，f(e)e22，故f(x)max.19(本题满分
10、12分)(2014江西理)已知函数f(x)(x2bxb)(bR)(1)当b4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间上单调递增，求实数b的取值范围答案(1)极小值为0，极大值为4(2)(，解析(1)当b4时，f(x)，由f(x)0，得x2或x0.当x(，2)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(2,0)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，f(x)单调递减，故f(x)当x2时取得极小值f(2)0，在当x0时取得极大值，f(0)4.(2)f(x)，因为当x时，0，依题意当x时，有5x(3b2)0，从而(3b2)0.所以实数b的取值范围为.20(本题满分12分)已知函数f(x
11、)lnx，g(x)(xa)2(lnxa)2.(1)求函数f(x)在A(1,0)处的切线方程；(2)若g(x)在1，)上单调递增，求实数a的取值范围；(3)证明：g(x).答案(1)yx1(2)a2(3)略解析(1)因为f(x)，所以f(1)1.故切线方程为yx1.(2)g(x)2(xa)，令F(x)xa，则yF(x)在1，)上单调递增F(x)，则当x1时，x2lnxa10恒成立，即当x1时，ax2lnx1恒成立令G(x)x2lnx1，则当x1时，G(x)x2m，f(x1)f(x2)a(x1x2)恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x0时，求证：ln(x1)2x2(9x5)答案(1)(，0(2)
12、略解析(1)函数f(x)的定义域为(m，)f(x)4x，故函数f(x)在点P(0，f(0)处的切线斜率kf(0)1，即1，解得m1.故f(x)ln(x1)2x2.由f(x1)f(x2)a(x1x2)，得f(x1)ax1f(x2)ax2.故由题意可得g(x)f(x)ax在(1，)上为增函数故g(x)f(x)a0在(1，)上恒成立，即4xa0在(1，)上恒成立故a4x在(1，)上恒成立设p(x)4x4(x1)4，因为x10，所以4(x1)4240.所以实数a的取值范围是(，0(2)设h(x)ln(x1)2x2(9x5)则h(x)4x，令h(x)0，解得x或x1.故当x(0,1)时，h(x)0，函数
13、h(x)单调递增所以函数h(x)在(0，)上的最小值为h(1)ln(11)212(915)ln20.故h(x)0，即ln(x1)2x2(9x5)0，也就是ln(x1)2x2(9x5)22(本题满分12分)设函数f(x)lnxax，g(x)exax，其中a为实数(1)若f(x)在(1，)上是单调减函数，且g(x)在(1，)上有最小值，求实数a的取值范围；(2)若g(x)在(1，)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论答案(1)ae(2)a或a0时，f(x)有1个零点；0ae，则g(x)exax在(1，lna)上是单调减函数，在(lna，)上是单调增函数，g(x)ming(lna)，满足题意故实数a的取值范围为ae.(2)g(x)exa0在(1，)上恒成立，则aex，故a，f(x)a(x0)若00得单调递增区间为(0，)；令f(x)0得单调递减区间为(，)当x0时，f(x)；当x时，f(x)；当x时，f()lna10，当且仅当a时取等号故当a时，f(x)有1个零点；当0a时，f(x)有2个零点若a0，则f(x)lnx，易知f(x)有1个零点若a0在(0，)上恒成立，即f(x)lnxax在(0，)上是单调增函数，当x0时，f(x)；当x时，f(x).此时，f(x)有1个零点综上所述，当a或a0时，f(x)有1个零点；当0a时，f(x)有2个零点