1、2.3 数学归纳法考点一：数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证明恒等式1.证明：.(nN*)证明(1)当n1时，左边，右边，左边右边，所以等式成立 (2)假设nk(k1)时等式成立，即有，则当nk1时，.所以当nk1时，等式也成立由(1)、(2)可知，对一切nN*等式都成立2.nN*，求证：1.证明(1)当n1时，左边1，右边.左边右边(2)假设nk时等式成立，即1，则当nk1时，.即当nk1时，等式也成立综合(1)、(2)可知，对一切nN*，等式成立.考点二：用数学归纳法证明不等式1.用数学归纳法证明：12(n2)证明1当n2时，12，命题成立2假设nk时命题成立，即12当nk1时，1211
2、1f(k1)f(k)kk(k1)nk1时，命题成立综合(1)、(2)可得：原命题对nN*恒成立.考点三：用数学归纳法证明整除问题1.求证：an1(a1)2n1能被a2a1整除，nN*，aR.证明(1)当n1时，a11(a1)211a2a1，命题显然成立(2)假设当nk(kN*)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.由归纳假设知，上式能被a2a1整除，故当nk1时命题也成立由(1)，(2)知，对一切nN*，命题都成立
3、2.求证：当n为正奇数时，xnyn能被xy整除证明(1)显然，当n1时，命题成立，即x1y1能被xy整除(2)假设当n2k1(kN*)时命题成立，即(xy)能整除x2k1y2k1则当n2k1时，x2k1y2k1x2x2k1x2y2k1x2y2k1y2y2k1x2(x2k1y2k1)(xy)(xy)y2k1xy能整除(x2k1y2k1)又xy能整除(xy)(xy)y2k1(xy)能整除(x2k1y2k1)由(1)、(2)可知当n为正奇数时，xnyn能被xy整除.考点四：用数学归纳法证明几何问题1.平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个及以上的圆交于一点，求证：这n个圆将平面分成n2n2
4、(nN*)个区域证明(1)当n1时，1个圆将平面分成2个区域，命题显然成立(2)假设当nk(kN*)时命题成立，即k个圆将平面分成k2k2个区域则当nk1时，第k1个圆交前面k个圆于2k个点，这2k个点将第k1个圆分成2k段弧，每段弧将各自所经过的区域一分为二，于是增加了2k个区域，所以这k1个圆将平面分成k2k22k个区域，即(k1)2(k1)2个区域，故当nk1时，命题也成立由(1)、(2)可知，对一切nN*，命题都成立2.用数学归纳法证明：凸n边形的对角线的条数为：f(n)n(n3) (n3)证明三角形没有对角线，n3时，f(3)0，命题成立假设nk(k3)时，命题成立，即f(k)k(k
5、3)，则当nk1时，凸k边形由原来的k个顶点变为k1个顶点，对角线条数增加k1条f(k1)f(k)k1k(k3)k1(k1)(k1)3当nk1时命题成立，对任何nN且n3，凸n边形对角线条数为f(n)n(n3)考点五：归纳、猜想、证明1.是否存在常数a，b，c使等式1(n212)2(n222)n(n2n2)an4bn2c对一切正整数n成立？证明你的结论解析分别用n1,2,3代入解方程组下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，由上可知等式成立；(2)假设当nk(k1，kN*)时，等式成立，即1(k212)2(k222)k(k2k2)k4k2，则当nk1时，左边1(k1)2122(k1)222k(k
6、1)2k2(k1)(k1)2(k1)21(k212)2(k222)k(k2k2)1(2k1)2(2k1)k(2k1)k4k2(2k1)2(2k1)k(2k1)(k1)4(k1)2.(为什么？)当nk1时，等式也成立由(1)，(2)得等式对一切的nN*均成立2.已知数列an的第一项a15且Sn1an(n2，nN*)，(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明an的通项公式解析(1)a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，猜想an52n2(n2，nN*)(2)证明：当n2时，a252225，猜想成立假设nk时成立，即ak52k2(k2，kN*)，当nk1时，由已知条件和假设有ak1Ska1a2ak551052k2552k1.故nk1时猜想也成立由可知，对n2，nN*，有an52n2.所以数列an的通项公式为an