1、2016年“超级全能生”26省联考高考数学模拟试卷（甲卷）（理科）一选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1已知集合B=1，C=3，AB=1，2，则（）AAB=BAC=CAC=1，2，3DAC=2，32若复数，则z1z2=（）A12iB1+2iC1+2iD12i3掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的次数的概率为（）ABCD4“xy0”是“x0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天它飞出去找回3个伙伴；第2天有4只蜜蜂飞出去各自找回了3个伙伴，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有（）
2、只蜜蜂A972B1456C4096D54606如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图与侧视图完全一样，俯视图的外框为正方形，则这个几何体的表面积是（）A802B80C80+4D80+67对任意非零实数a，b，若ab的运算原理如图所示，则20.5log0.5的值为（）ABCD8下列函数中在上为减函数的是（）Ay=tanxBCy=sin2x+cos2xDy=2cos2x19下列函数中满足的是（）Af（x）=ax+bBf（x）=xCf（x）=logax（a0，a1）Df（x）=x2+ax+b10双曲线的一条渐近线的斜率为2，过右焦点F作x轴的垂线交双曲线与A，B两点，OAB（O为坐标原点）的面积为
3、4，则F到一条渐近线的距离为（）AB2CD311半径为R的球O中有两个半径分别为2与2的截面圆，它们所在的平面互相垂直，且两圆的公共弦长为R，则R=（）A4B5C3D412以下关于x（x0）的不等式ln（x+1）+kx2x0的结论中错误的是（）A，使不等式恒成立B，使不等式恒成立C，使不等式恒成立D，使不等式恒成立二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13等腰直角三角形的直角顶点位于原点，另外两个点在抛物线y2=4x上，则这个等腰直角三角形的面积为14若关于x的不等式x2+xmx的解集为x|1x0，则二项式（1+mx）2016的展开式中的x系数为15等比数列an中，an0，a1=25
4、6，S3=448，Tn为数列an的前n项乘积，则Tn当取得最大值时，n=16已知向量，满足2，且，则的取值范围是三、解答题（本题共5小题，共70分）17ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sinBsinC=2sin（AC）（1）求cosA；（2）若a=，b+c=5，求ABC的面积18某超市某种面包进货价为每个4元，实际售价为每个4.5元，若当天不能卖完，就在闭店前以每个3元的价格全部处理，据以往统计日需求量（单位：个）的情况如表：日需求量x（0，400（400，600（600，800（800，1000频率0.20.40.30.1若某日超市面包进货量为600（1）若以日需求量x所在
5、区间的中间值为估计值，根据上表列出当日利润y的分布列；（2）估计超市当日利润y的均值19已知三棱柱ABCA1B1C1，侧棱AA1垂直于底面ABC，ABC=，AB=BC=AA1=4，D为BC的中点（1）若E为棱CC1的中点，求证：DEA1C；（2）若E为棱CC1上异于端点的任意一点，设CE与平面ADE所成角为，求满足sin=时CE的长20已知直线l：y=x+1，圆O：，直线l被圆截得的弦长与椭圆C：的短轴长相等，椭圆的离心率e=（）求椭圆C的方程；（）过点M（0，）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点
6、T的坐标；若不存在，请说明理由21已知函数f（x）=lnx+1（1）求函数的单调性；（2）证明：ln（n+1）!2n4（nN*）选修4-1：几何证明题选讲22如图所示，AB为O的直径，BC、CD为O的切线，B、D为切点（1）求证：ADOC；（2）若O的半径为1，求ADOC的值选修4-4：坐标系与参数方程23已知A，B（不与原点O重合）分别在圆C1：（x2）2+y2=4与圆C2：（x1）2+y2=1上，且OAOB（1）若以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当A的极角为时，求A，B的极坐标；（2）求|OA|OB|的最大值选修4-4：不等式选讲24如果关于x的不等式|x3|+|x4|a|的
7、解集为空集（1）求实数a的取值范围；（2）若实数b与实数a取值范围完全相同，求证：|1ab|ab|2016年“超级全能生”26省联考高考数学模拟试卷（甲卷）（理科）参考答案与试题解析一选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1已知集合B=1，C=3，AB=1，2，则（）AAB=BAC=CAC=1，2，3DAC=2，3【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出集合A中的元素，从而求出AB即可【解答】解：集合B=1，C=3，AB=1，2，A=2或A=1，2，AC=，故选：B2若复数，则z1z2=（）A12iB1+2iC1+2iD12i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、
8、共轭复数的定义即可得出【解答】解：复数=i，z2=2i，则z1z2=i（2i）=2i1故选：A3掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的次数的概率为（）ABCD【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的次数包含出现4次正面和出现3次正面一次反面，由此能求出出现正面的次数多于反面的次数的概率【解答】解：掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面的次数包含出现4次正面和出现3次正面一次反面，出现正面的次数多于反面的次数的概率：p=故选：C4“xy0”是“x0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件
9、【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】“xy0”x0且y0，反之不成立即可得出【解答】解：“xy0”x0且y0，反之不成立“xy0”是“x0”的充分不必要条件故选：A5一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天它飞出去找回3个伙伴；第2天有4只蜜蜂飞出去各自找回了3个伙伴，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有（）只蜜蜂A972B1456C4096D5460【考点】数列的求和【分析】设此数列为an，则a1=4，公比为q=3，再利用等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：设此数列为an，由题意可得：a1=4，公比为q=3，S6=1456，故选：B6如图是一个空间几何体
10、的三视图，其中正视图与侧视图完全一样，俯视图的外框为正方形，则这个几何体的表面积是（）A802B80C80+4D80+6【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体为长方体中挖去一个圆柱得到的，表面积为长方体表面积加上圆柱的侧面积再减去两个圆的面积【解答】解：由三视图可知几何体为长方体中挖去一个圆柱得到的，长方体的底面为边长为4的正方形，圆柱的底面半径为1，高为3S=434+422212+213=80+4故选C7对任意非零实数a，b，若ab的运算原理如图所示，则20.5log0.5的值为（）ABCD【考点】选择结构【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用
11、是计算分段函数y=函数值，并输出【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=函数值，20.5log0.5=2，此时a=b=2，y=故选：C8下列函数中在上为减函数的是（）Ay=tanxBCy=sin2x+cos2xDy=2cos2x1【考点】复合三角函数的单调性；两角和与差的正弦函数【分析】由复合函数的单调性逐一核对四个选项得答案【解答】解：y=tanx在上有两个减区间，分别为（），（）；当时，0，函数y=cos（）为减函数；y=sin2x+cos2x=，当时，y=sin2x+cos2x=先减后增；y=2cos2x1=cos2x，当时
12、，y=2cos2x1=cos2x先减后增在上为减函数的是y=cos（）=sin2x故选；B9下列函数中满足的是（）Af（x）=ax+bBf（x）=xCf（x）=logax（a0，a1）Df（x）=x2+ax+b【考点】对数函数的单调性与特殊点【分析】利用函数的凸凹性即可判断【解答】解：若满足，则函数为下凸函数，对于A：f（x）=ax+b属于直线，对于B，f（x）=x凸凹性不确定，对于C，函数f（x）f（x）=logax（a0，a1）当a1时，为上凸函数，当0a1时为下凸函数，对于D，函数开口向上，属于下凸函数，故选：D10双曲线的一条渐近线的斜率为2，过右焦点F作x轴的垂线交双曲线与A，B两点
13、，OAB（O为坐标原点）的面积为4，则F到一条渐近线的距离为（）AB2CD3【考点】双曲线的简单性质【分析】根据渐近线的斜率得到b=2a，求出交点A，B的坐标，结合三角形的面积求出a，b，c，利用点到直线的距离公式进行求解即可【解答】解：双曲线的一条渐近线的斜率为2，则y=x=2x，即=2，即b=2a，当x=c时，=1，即，1=，即y2=，得y=，即A（c，），B（c，）则，OAB（O为坐标原点）的面积为4，即S=c=4，即cb2=4a，b=2a，4ca2=4a，则ac=，即a2c2=a2（a2+4a2）=5a4=5，则a=1，b=2，c=则F（c，0）到一条渐近线y2x=0的距离为d=2，故
14、选：B11半径为R的球O中有两个半径分别为2与2的截面圆，它们所在的平面互相垂直，且两圆的公共弦长为R，则R=（）A4B5C3D4【考点】球面距离及相关计算【分析】可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案【解答】解：设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，于是OO1=O2E=，AB=2AE=2=RR=4故选：D12以下关于x（x0）的不等式ln（x+1）+kx2x0的结论中错误的是（）A，使不等式恒成立B，使不等式恒成立C，使不等式恒成立D，使不等式恒成立【考点】全称命题【分析】根据二次函数以及对数函数的性质判断即可【解答】解
15、：x0时，ln（x+1）0，若不等式ln（x+1）+kx2x0恒成立，只需kx2x0恒成立，k=0时，不成立，k0时，=14k0，解得：k，故A、C、D正确，B错误故选：B二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13等腰直角三角形的直角顶点位于原点，另外两个点在抛物线y2=4x上，则这个等腰直角三角形的面积为【考点】抛物线的简单性质【分析】由抛物线关于x轴对称，可得等腰三角形的另外两个点关于x轴对称，求得直线y=x和抛物线的交点，即可得到所求面积【解答】解：由等腰直角三角形的直角顶点位于原点，另外两个点在抛物线y2=4x上，由抛物线的对称性可得另外两个点关于x轴对称，可设直线y=x，代
16、入抛物线y2=4x，可得x2=4x，解得x=0或x=4，可得等腰直角三角形的另外两个点为（4，4），（4，4），则这个等腰直角三角形的面积为（）2=16故答案为：1614若关于x的不等式x2+xmx的解集为x|1x0，则二项式（1+mx）2016的展开式中的x系数为【考点】二项式定理【分析】根据一元二次不等式的解集求得m=2，再利用二项展开式的通项公式求得展开式中的x系数【解答】解：关于x的不等式x2+xmx，即x2+（m1）x0，即x（x+m1）0，它的解集为x|1x0，1m=1，m=2，则二项式（1+mx）2016=（1+2x）2016的展开式的通项公式为Tr+1=（2x）r，令r=1，可
17、得x系数为20162=4032，故答案为：403215等比数列an中，an0，a1=256，S3=448，Tn为数列an的前n项乘积，则Tn当取得最大值时，n=【考点】等比数列的性质【分析】由已知列式求出等比数列的公比，得到通项公式，由n9时，n9时，得答案【解答】解：设等比数列an的公比为q，由a1=256，S3=448，得256（1+q+q2）=448，解得：或q=，an0，q=，则，当n9时，当n9时，当n=8或9时，Tn取得最大值故答案为：8或916已知向量，满足2，且，则的取值范围是【考点】平面向量数量积的运算【分析】先求出，从而由便可得到（m1）2+（n1）22，这样便可设m1=t
18、cos，n1=tsin，且，从而有，这便可得到0m+n4，从而，再根据便可得出的取值范围【解答】解：；由得，m（m2）+n（n2）0；（m1）2+（n1）22；设m1=tcos，n1=tsin，；0m+n4；又，；的取值范围是2，4故答案为：2，4三、解答题（本题共5小题，共70分）17ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sinBsinC=2sin（AC）（1）求cosA；（2）若a=，b+c=5，求ABC的面积【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）2sinBsinC=2sin（AC）得到sinC=2sin（A+C）sin（AC），利用两角和公式化简整理求得cosA=，（2）有
19、（1）知A的度数，再根据余弦定理求出bc=5，再根据三角形的面积公式即可求出答案【解答】解：（1）2sinBsinC=2sin（AC），sinC=2sin（A+C）sin（AC）=2（sinAcosC+cosAsinCsinAcosC+cosAsinC）=2cosAsinC，sinC0，cosA=，（2）由（1）知，cosA=，0A180，A=60，a2=b2+c22bccosA=（b+c）23bc，a=，b+c=5，bc=5，SABC=bcsinA=5=18某超市某种面包进货价为每个4元，实际售价为每个4.5元，若当天不能卖完，就在闭店前以每个3元的价格全部处理，据以往统计日需求量（单位：个
20、）的情况如表：日需求量x（0，400（400，600（600，800（800，1000频率0.20.40.30.1若某日超市面包进货量为600（1）若以日需求量x所在区间的中间值为估计值，根据上表列出当日利润y的分布列；（2）估计超市当日利润y的均值【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）以日需求量x所在区间的中间值为估计值，根据上表列出当日利润y的分布列，由此能求出当日利润y的分布列（2）由当日利润y的分布列，能估计超市当日利润y的均值【解答】解：（1）若以日需求量x所在区间的中间值为估计值，根据上表列出当日利润y的分布列为： 日需求量x 200 500 700 900 概率p 0.
21、2 0.4 0.3 0.1当x=200时，y=200（4.54）1=300，当x=500时，y=500（4.54）1=150，当x=700时，y=600（4.54）=300，当x=900时，y=600（4.54）=300，当日利润y的分布列为：y300 150 300 P 0.2 0.4 0.4（2）由当日利润y的分布列得到估计超市当日利润y的均值为：Ey=3000.2+1500.4+3000.4=120（元）19已知三棱柱ABCA1B1C1，侧棱AA1垂直于底面ABC，ABC=，AB=BC=AA1=4，D为BC的中点（1）若E为棱CC1的中点，求证：DEA1C；（2）若E为棱CC1上异于端点
22、的任意一点，设CE与平面ADE所成角为，求满足sin=时CE的长【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质【分析】（1）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DEA1C（2）求出平面ADE的法向量，由CE与平面ADE所成角满足sin=，利用向量法能求出CE【解答】解：（1）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，AB=BC=AA1=4，D为BC的中点，E为棱CC1的中点，D（0，2，0），E（0，4，2），A1（4，0，4），C（0，4，0），=（0，2，2），=（4，4，4），=0+88=0，DEA1C（2）
23、设E（0，4，t），0t4， =（0，0，t），A（4，0，0），=（4，2，0），=（4，4，t），设平面ADE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，2，），设CE与平面ADE所成角为，满足sin=，=，解得t=3或t=3（舍），CE=320已知直线l：y=x+1，圆O：，直线l被圆截得的弦长与椭圆C：的短轴长相等，椭圆的离心率e=（）求椭圆C的方程；（）过点M（0，）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆相交的性质
24、【分析】（）由题设可知b=1，利用，即可求得椭圆C的方程；（）先猜测T的坐标，再进行验证若直线l的斜率存在，设其方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标运算公式即可证得【解答】解：（）则由题设可知b=1，又e=，=，a2=2 所以椭圆C的方程是+y2=1（）若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是 由解得由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）事实上点T（0，1）就是所求的点证明如下：当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为x2+y2=1，过点T（0，1）；当直线l的斜率存
25、在，设直线方程为，代入椭圆方程，并整理，得（18k2+9）x212kx16=0设点A、B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=（x1，y11），=（x2，y21）=x1x2+（y11）（y21）=（k2+1）x1x2（x1+x2）+=，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件21已知函数f（x）=lnx+1（1）求函数的单调性；（2）证明：ln（n+1）!2n4（nN*）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求解函数f（x）=，（x0）利用不等式判断即可（2）利用（1）中的结论可得lnx1，分别取x
26、=2，3，n+1，再利用累加法证得ln（n+1）!，利用数学归纳法证明，即可得到ln（n+1）!2n4（nN*）【解答】解：（1）函数f（x）=lnx+1函数f（x）=，（x0）由f（x）=0，解得x1，由f（x）=0，得0x1函数的单调递增区间（1，+），单调递减区间（0，1）；（2）由（1）知，y=f（x）的最小值为f（1）=0，f（x）0（x0且x1），即lnx1，ln，ln，ln，累加得：ln+ln+ln（1）+（1）+（1），即，ln（n+1）!，下面利用数学归纳法证明当n=1时，左边=，右边=2，不等式成立；假设当n=k时不等式成立，即，那么，当n=k+1时，要证，只需证，也就是证
27、89，此时显然成立，即，综上，ln（n+1）!2n4（nN*）选修4-1：几何证明题选讲22如图所示，AB为O的直径，BC、CD为O的切线，B、D为切点（1）求证：ADOC；（2）若O的半径为1，求ADOC的值【考点】圆的切线的性质定理的证明【分析】（1）要证明ADOC，我们要根据直线平行的判定定理，观察已知条件及图形，我们可以连接OD，构造出内错角，只要证明1=3即可得证（2）因为O的半径为1，而其它线段长均为给出，故要想求ADOC的值，我们要将其转化用半径相等或相关的线段积的形式，结合（1）的结论，我们易证明RtBADRtODC，根据相似三角形性质，不们不难得到转化的思路【解答】解：（1）
28、如图，连接BD、ODCB、CD是O的两条切线，BDOC，2+3=90又AB为O直径，ADDB，1+2=90，1=3，ADOC；（2）AO=OD，则1=A=3，RtBADRtODC，ADOC=ABOD=2选修4-4：坐标系与参数方程23已知A，B（不与原点O重合）分别在圆C1：（x2）2+y2=4与圆C2：（x1）2+y2=1上，且OAOB（1）若以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当A的极角为时，求A，B的极坐标；（2）求|OA|OB|的最大值【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（1）求出圆C1极坐标方程为=4cos，当A的极角为时，求出A点极坐标为A（2，），从而得到A点直角坐标为
29、（1，），设B直角坐标为（x，y），由OAOB，由求出B点直角坐标，从而能求出B点极坐标（2）当过C1作y轴平行线，交圆C1于A，过C2作y轴平行线，交C2于B，A、B位于x轴两侧，此时|OA|OB|取最大值，由此能求出结果【解答】解：（1）A，B（不与原点O重合）分别在圆C1：（x2）2+y2=4与圆C2：（x1）2+y2=1上，圆C1：（x2）2+y2=4即x2+y24x=0，圆C1极坐标方程为=4cos，当A的极角为时， =2，A点极坐标为A（2，）A点极坐标为A（2，），A点直角坐标为（1，），设B直角坐标为（x，y），则，解得x=，y=，B点直角坐标为（，），B点极坐标为B（，）（2
30、）如图，圆C1：（x2）2+y2=4的圆心C1（2，0），半径r1=2，圆C2：（x1）2+y2=1的圆心C2（1，0），半径r2=1，且OAOB，当过C1作y轴平行线，交圆C1于A，过C2作y轴平行线，交C2于B，A、B位于x轴两侧，此时|OA|OB|取最大值，|OA|=，|OB|=，|OA|OB|的最大值为：2=4选修4-4：不等式选讲24如果关于x的不等式|x3|+|x4|a|的解集为空集（1）求实数a的取值范围；（2）若实数b与实数a取值范围完全相同，求证：|1ab|ab|【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（1）由条件利用绝对值的意义，求得实数a的取值范围（2）要证的不等式等价于 （1a2）（1b2）0，由条件得到（1a2）0，且（1b2）0，不等式得证【解答】解：（1）由于|x3|+|x4|表示数轴上的x对应点到3、4对应点的距离之和，它的最小值为1，由于关于x的不等式|x3|+|x4|a|的解集为空集，故|a|1，求得1a1（2）若实数b与实数a取值范围完全相同，即1b1，即|b|1，|1ab|ab|，等价于 （1ab）2（ab）2，等价于1+a2b2a2b20，等价于 （1a2）（1b2）0由于（1a2）0，且（1b2）0，故（1a2）（1b2）0成立，即|1ab|ab|成立2016年10月11日
