1、第二章综合检测一、选择题1.有下列四个表达式:|a+b|=|a|+|b|;|a-b|=(|a|-|b|);a2|a|2;|ab|=|a|b|.其中正确的个数为().A.0B.2C.3D.4【解析】对于,仅当a与b同向时成立;对于,左边|a-b|0,而右边(|a|-|b|)的正负号不确定,所以不成立;对于,a2=|a|2,所以不成立;对于,当ab时不成立.综上可知,正确的个数为0.【答案】A2.下列各组向量中,可以作为基底的是().A.e1=(0,0),e2=(1,-2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=12,-34【解
2、析】由平面向量基本定理知,不共线的向量才可以作为基底.A,C,D中的向量分别共线,B中的向量不共线,所以选B.【答案】B3.向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)a=().A.-1B.0C.1D.2【解析】a=(1,-1),b=(-1,2),a2=2,ab=-3,(2a+b)a=2a2+ab=4-3=1.【答案】C4.已知A,B是圆心为C、半径为5的圆上两点,且|AB|=5,则ACCB等于().A.-52B.52C.0D.532【解析】由题易知ABC为正三角形,所以ACCB=55cos 120=-52,故选A.【答案】A5.在ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上,且
3、满足AP=2PM,则AP(PB+PC)等于().A.49B.43C.-43D.-49【解析】由M为BC的中点,得PB+PC=2PM=AP,所以AP(PB+PC)=AP2.又因为AP=2PM,所以|AP|=23|AM|=23.即AP2=|AP|2=49.【答案】A6.已知向量a=8+12x,x,b=(x+1,2),其中x0,若ab,则x的值为().A.8B.4C.2D.0【解析】ab,8+12x2-x(x+1)=0,即x2=16,又x0,x=4.【答案】B7.在等腰梯形ABCD中,点P是BC上的点,若BP=3PC,AP=mAB+nAC,则().A.m=1,n=3B.m=3,n=1C.m=34,n
4、=14D.m=14,n=34【解析】如图所示,因为BP=3PC,所以BP=34BC.又因为BC=AC-AB,所以BP=34(AC-AB).所以AP=AB+BP=AB+34(AC-AB)=14AB+34AC.所以m=14,n=34.故选D.【答案】D8.已知|a|=2|b|0,且关于x的方程x2+|a|x+ab=0有实根,则a与b夹角的取值范围是().A.0,6B.3,C.3,23D.6,【解析】设a与b的夹角为,由题意可知=|a|2-4ab0,所以ab|a|24,所以cos =ab|a|b|a|24|a|b|=12.因为0,所以3,.【答案】B9.设a,b是非零向量,若函数f(x)=(xa-3
5、b)(5a+2xb)的图象是一条直线,则必有().A.|a|b|B.a=bC.abD.ab【解析】因为f(x)=(xa-3b)(5a+2xb)=2abx2+(5a2-6b2)x-15ab,要使f(x)的图象是一条直线,则必有ab=0,即ab.【答案】D10.已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AFBC的值为().A.-58B.18C.14D.118【解析】设BA=a,BC=b,DE=12AC=12(b-a),DF=32DE=34(b-a),AF=AD+DF=-12a+34(b-a)=-54a+34b,AFBC=-54a+
6、34bb=-54ab+34b2=-5411cos 60+341=18.故选B.【答案】B11.在ABC中,A=90,AB=1,AC=2,设点P,Q满足AP=AB,AQ=(1-)AC,R.若BQCP=-2,则=().A.13B.23C.43D.2【解析】如图,设AB=b,AC=c,则b=1,c=2,bc=0.又BQ=BA+AQ=-b+(1-)c,CP=CA+AP=-c+b,所以由BQCP=-2得-b+(1-)c(-c+b)=(-1)c2-b2=4(-1)-=-2,即3=2,解得=23,故选B.【答案】B12.已知菱形ABCD的边长为2,BAD=120,点E,F分别在边BC,DC上,BE=BC,D
7、F=DC.若AEAF=1,CECF=-23,则+=().A.12B.23C.56D.712【解析】因为BAD=120,所以ABAD=|AB|AD|cos 120=-2.因为BE=BC,DF=DC,所以AE=AB+AD,AF=AD+AB.又因为AEAF=1,所以(AB+AD)(AD+AB)=1,即2+2-=32.同理可得,CECF=-=-23.由+,得+=56.【答案】C二、填空题13.已知a=(2cos ,2sin ),b=(3,3),且a与b共线,0,2),则=.【解析】由ab,得23cos =6sin .cos 0,tan =33.又0,2),=6或=76.【答案】6或7614.已知ABC
8、是边长为2的等边三角形,若向量a,b满足AB=2a,AC=2a+b,则下列结论中正确的是.(写出所有正确结论的编号)a为单位向量;b为单位向量;ab;bBC;(4a+b)BC.【解析】AB2=4|a|2=4,|a|=1,故正确;BC=AC-AB=(2a+b)-2a=b,且ABC为等边三角形,|BC|=|b|=2,故错误;b=AC-AB,ab=12AB(AC-AB)=1222cos 60-1222=-10,故错误;BC=b,故正确;(4a+b)b=(AB+AC)(AC-AB)=AC2-AB2=4-4=0,(4a+b)BC,故正确.【答案】15.如图,半圆的直径AB=2,O为圆心,C是半圆上不同于
9、点A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(PA+PB)PC的最小值是.【解析】点O是AB的中点,PA+PB=2PO.设|PC|=x,则|PO|=1-x(0x1).(PA+PB)PC=2POPC=-2x(1-x)=2x-122-12.当x=12时,(PA+PB)PC取得最小值-12.【答案】-1216.在平行四边形ABCD中,AD=1,BAD=60,E为CD的中点.若ACBE=1,则AB的长为.【解析】设AB的长为a(a0),因为AC=AB+AD,BE=BC+CE=AD-12AB,所以ACBE=(AB+AD)AD-12AB=12ABAD-12AB2+AD2=-12a2+14a+1,故-12
10、a2+14a+1=1,解得a=12,所以AB=12.【答案】12三、解答题17.已知向量a=3e1-2e2,b=4e1+e2,其中e1=(1,0),e2=(0,1).求:(1)ab,|a+b|;(2)a与b的夹角的余弦值.【解析】(1)因为e1=(1,0),e2=(0,1),所以a=3e1-2e2=(3,-2),b=4e1+e2=(4,1),所以ab=34+(-2)1=10,所以a+b=(7,-1),所以|a+b|=72+(-1)2=52.(2)设a与b的夹角为,则cos =ab|a|b|=101317=10221221.18.在正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点
11、P.求证:(1)BECF;(2)AP=AB.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1)BE=(-1,2),CF=(-2,-1),BECF=(-1)(-2)+2(-1)=0,BECF,即BECF.(2)设点P的坐标为(x,y),则FP=(x,y-1),FC=(2,1),FPFC,x=2(y-1),即x=2y-2,同理,由BPBE,得y=-2x+4,由x=2y-2,y=-2x+4,得x=65,y=85,点P的坐标为65,85,|AP|=652+852=2=|AB|,即AP=AB.19.已知|a|=3,|b|=2,
12、a与b的夹角为60,c=3a+5b,d=ma-3b.(1)当m为何值时,c与d垂直?(2)当m为何值时,c与d共线?【解析】(1)令cd=0,则(3a+5b)(ma-3b)=0,即3m|a|2-15|b|2+(5m-9)ab=0,解得m=2914.故当m=2914时,cd.(2)令c=d,则3a+5b=(ma-3b),即(3-m)a+(5+3)b=0,a,b不共线,3-m=0,5+3=0,解得=-53,m=-95.故当m=-95时,c与d共线.20.在直角坐标系xOy中,OA=(4,-4),OB=(5,1),MBOA,垂足为M,求MB的坐标.【解析】设点M的坐标为(x,y),由题意,可得OMM
13、B,所以OMMB=0.又OM=(x,y),MB=(5-x,1-y),所以x(5-x)+y(1-y)=0.又O,M,A三点共线,所以OMOA.所以4y+4x=0.联立,解得x=2,y=-2或x=0,y=0.(舍去)所以MB=(3,3).21.在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;(2)设实数t满足(AB-tOC)OC=0,求t的值.【解析】(1)由题设知AB=(3,5),AC=(-1,1),则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4).所以|AB+AC|=210,|AB-AC|=42.故所求的两
14、条对角线的长分别为42,210.(2)(法一)由题设知OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t).由(AB-tOC)OC=0,得(3+2t,5+t)(-2,-1)=0,从而5t=-11,所以t=-115.(法二)ABOC=tOC2,t=ABOC|OC|2=-115.22.如图,在四边形ABCD中,BC=AD(R),|AB|=|AD|=2,|CB-CD|=23,且BCD是以BC为斜边的直角三角形.(1)求的值;(2)求CBBA的值.【解析】(1)因为BC=AD,所以BCAD,且|BC|=|AD|.因为|AB|=|AD|=2,所以|BC|=2.又|CB-CD|=23,所以|DB|=23.作AHBD交BD于点H,则H为BD的中点.在RtAHB中,有cosABH=BHAB=32,所以ABH=30,所以ADB=DBC=30.因为BDC=90,所以BD=BCcos 30,即23=232,解得=2.(2)由(1)知,ABC=60,|CB|=4,所以CB与BA的夹角为120.故CBBA=|CB|BA|cos 120=-4.