1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.基本不等式学习目标：1.了解两个正数的算术平均数与几何平均数.2.理解定理1和定理2(基本不等式)(重点)3.掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题(难点、易混点)教材整理1两个定理及算数平均与几何平均阅读教材P5P6“例3”以上部分，完成下列问题1两个定理定理内容等号成立的条件定理1a2b22ab(a，bR)当且仅当ab时，等号成立定理2(a，b0)当且仅当ab时，等号成立2.算术平均与几何平均如果a，b都是正数，我们称为a，b的算术平均，为a，b的几何平均下列不等式中，正确的个数是()若a，bR，则；若xR，则x222；若xR，则x212；若a
2、，b为正实数，则.A0B1C2 D3C显然不正确；正确；对于，虽然x22无解，但x222成立，故正确；不正确，如a1，b4.教材整理2利用基本不等式求最值阅读教材P6P8，完成下列问题已知x，y为正数，xyS，xyP，则(1)如果P是定值，那么当且仅当xy时，S取得最小值2；(2)如果S是定值，那么当且仅当xy时，P取得最大值.若x0，则f(x)23x2的最大值是_，取得最值时x的值是_解析f(x)2323410，当且仅当x2，即x时取等号答案10利用基本不等式证明不等式【例1】已知a，b，c都是正数，求证：abc.精彩点拨观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系自主解答a0，b0，c0，
3、b2 2a，同理：c2b，a2c.三式相加得：(bca)2(abc)，abc.1首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形或配凑使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形式进行证明2当且仅当abc时，上述不等式中“等号”成立，若三个式子中有一个“”号取不到，则三式相加所得的式子中“”号取不到1已知x，y，z均为正数，求证：.证明x，y，z都是正数，.同理可得，.将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得.利用基本不等式求最值【例2】设x，y，z均是正数，x2y3z0，则的最小值为_精彩点拨由条件表示y，代入到中，变形为能运用基本不等式求最值的形式，求出最小值，但要注意等号取
4、到的条件自主解答由x2y3z0，得y，3.当且仅当xy3z时，取得最小值3.答案31本题解题的关键是根据已知条件消掉目标函数中的y，通过对目标函数的变形，转化为考生所熟悉的使用基本不等式求最值的问题2使用基本不等式求最值，必须同时满足三个条件：各项均为正数；其和或积为定值；等号必须成立，即“一正、二定、三相等”在具体问题中，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，决定着成败的关键2已知x0，y0，且1，试求xy的最小值解x0，y0，且1，xy(xy)1021016.当且仅当，即y3x时等号成立又1，当x4，y12时，(xy)min16.基本不等式的实际应用【例3】某国际化妆品生产企业为了占有
5、更多的市场份额，拟在2020年里某运动会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x万件与年促销费t万元之间满足3x与t1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件已知2020年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完(1)若计划2020年生产的化妆品正好能销售完，试将2020年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；(2)该企业2020年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？精彩点拨(1)两个基本
6、关系式是解答关键，即利润销售收入生产成本促销费；生产成本固定费用生产费用；(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式利用基本不等式求最值自主解答(1)由题意可设3x(k0)，将t0，x1代入，得k2.x3.当年生产x万件时，年生产成本为32x3323.当销售x万件时，年销售收入为150%t.由题意，生产x万件化妆品正好销完，得年利润y(t0)(2)y5050250242，当且仅当，即t7时，等号成立，ymax42，当促销费定在7万元时，年利润最大3如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱
7、体的长度为a m，高度为b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60 m2，问当a，b各为多长时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)?解法一设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意y，其中k为比例系数(k0)根据题意，得 22b2ab2a60(a0，b0)，b(由a0，b0，可得a0)要求y的最小值必须先求出ab的最大值依题设4b2ab2a60，即aba2b30(a0，b0)a2b2(当且仅当a2b时取“”)，ab230，可解得00，b0?提示对于不等式，如果a，b中有两个或一个为0，虽然不等式仍成立，但是研究的意义不大，当a，b都
8、为负数时，不等式不成立；当a，b中有一个为负数，另一个为正数，不等式无意义2利用求最值的条件是怎样的？提示利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”，即(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值3你能给出基本不等式的几何解释吗？提示如图，以ab为直径的圆中，DC，且DCAB.因为CD为圆的半弦，OD为圆的半径，长为，根据半弦长不大于半径，得不等式.显然，上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当ab时，等号成立因此，基本不等式的几何意义是圆的半弦长不大于半径；或直角三角形斜边的中线不小于斜边上的高【例4】命题：任意x0，lg x2；任意xR，ax2；任意x
9、，tan x2；任意xR，sin x2.其中真命题有()ABC D精彩点拨按基本不等式成立的条件进行判定C在中，lg xR，sin x1,1，不能确定lg x0与sin x0.因此是假命题；在中，ax0，ax22，当且仅当x0时，取等号，则是真命题；在中，当x时，tan x0，有tan x2，且x时取等号，是真命题1本题主要涉及基本不等式成立的条件及取等号的条件在定理1和定理2中，“ab”是等号成立的充要条件但两个定理有区别又有联系：(1)是a2b22ab的特例，但二者适用范围不同，前者要求a，b均为正数，后者只要求a，bR；(2)a，b大于0是的充分不必要条件；a，b为实数是a2b22ab的
10、充要条件2当ba0时，有变形不等式a b.4若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22abBab2C D2DA选项中，当ab时，a2b22ab，则排除A；当a0，b0时，ab02，00，则0，0，22，当且仅当ab时取“”，所以选D.1下列结论中不正确的是()Aa0时，a2B.2Ca2b22ab Da2b2B选项A，C显然正确；选项D中，2(a2b2)(ab)2a2b22ab0，a2b2成立；而选项B中，2不成立，因为若ab0，则不满足不等式成立的条件2下列各式中，最小值等于2的是()A BCtan D2x2xD2x0,2x0，2x2x22，当且仅当2x2x，即x0时，等号成立故选D.3已知1(x0，y0)，则xy的最小值是()A15 B6C60 D1C2(当且仅当x10，y6时，取等号)，21，xy60，故xy的最小值为60.4已知lg xlg y2，则的最小值为_解析lg xlg y2，x0，y0，lg(xy)2，xy102，2，当且仅当xy10时，等号成立答案5已知a，b是正数，求证：(1)；(2).证明(1)左边右边，原不等式成立(2)右边左边，原不等式成立- 11 - 版权所有高考资源网