1、2022精编复习题（十六） 导数与函数的综合问题一般难度题全员必做1设函数f(x)(1x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x0时，f(x)ax1，求a的取值范围解：(1)f(x)(12xx2)ex.令f(x)0，得x1或x1.当x(，1)时，f(x)0；当x(1，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以f(x)在(，1)，(1，)上单调递减，在(1，1)上单调递增(2)f(x)(1x)(1x)ex.当a1时，设函数h(x)(1x)ex，则h(x)xex0(x0)因此h(x)在0，)上单调递减，又h(0)1，故h(x)1，所以f(x)(x1)h(x)x1ax1.当0a1时
2、，设函数g(x)exx1，则g(x)ex10(x0)，所以g(x)在0，)上单调递增，而g(0)0，故exx1.当0x1时，f(x)(1x)(1x)2，(1x)(1x)2ax1x(1axx2)，取x0，则x0(0,1)，(1x0)(1x0)2ax010，故f(x0)ax01.当a0时，取x0，则x0(0,1)，f(x0)(1x0)(1x0)21ax01.综上，a的取值范围是1，)2(2021沈阳监测)已知函数f(x)aln x(a0)，e为自然对数的底数(1)若过点A(2，f(2)的切线斜率为2，求实数a的值；(2)当x0时，求证f(x)a；(3)若在区间(1，e)上eex0)，则g(x)a.
3、令g(x)0，即a0，解得x1，令g(x)0，解得0x1；g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增g(x)的最小值为g(1)0，f(x)a.(3)由题意可知eex，化简得.令h(x)，则h(x)，由(2)知，当x(1，e)时，ln x10，h(x)0，即h(x)在(1，e)上单调递增，h(x)0)当k2时，f(x)211，当且仅当x1时，等号成立所以函数f(x)的图象的切线斜率中的最大值为1.(2)因为关于x的方程f(x)k有解，令g(x)f(x)kkln xk，则问题等价于函数g(x)存在零点g(x).当k0时，g(x)0，g(e1)kk110时，令g(x)0，得x.g(x)，g
4、(x)随x的变化情况如下表：xg(x)0g(x)极小值所以gkkkln kln k为函数g(x)的最小值，当g0，即0k0，所以函数g(x)存在零点综上，当k0，设g(x)ln x.(1)求a的值；(2)对任意x1x20，a.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(a,1a)1a(1a，)f(x)0f(x)极小值因此，f(x)在1a处取得最小值故由题意f(1a)1a0，所以a1.(2)由1知g(x1)x1x20恒成立，即h(x)g(x)xln xx在(0，)上为减函数h(x)10在(0，)上恒成立，所以mxx2在(0，)上恒成立，而(xx2)max，则m，即实数m的取值范围为.(3
5、)由题意知方程可化为ln xx，即mx2xln x(x1)设m(x)x2xln x，则m(x)2xln x1(x1)设h(x)2xln x1(x1)，则h(x)20，因此h(x)在1，)上单调递增，h(x)minh(1)1.所以m(x)x2xln x在1，)上单调递增因此当x1时，m(x)m(1)1.所以当m1时方程有一个根，当m1时方程无根2(2021广西陆川二模)已知函数f(x)ln xmxm.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)0在(0，)上恒成立，求实数m的取值范围；(3)在(2)的条件下，对任意的0ab，求证：0恒成立，则函数f(x)在(0，)上单调递增，无单调递减区间；
6、当m0时，由f(x)0，得x，由f(x)0时，函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是.(2)由(1)知：当m0时，f(x)在(0，)上单调递增，f(1)0，显然不符合题意；当m0时，f(x)maxfln 1mmln m1，只需mln m10即可令g(x)xln x1，则g(x)1，x(0，)，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增g(x)ming(1)0.g(x)0对x(0，)恒成立，也就是mln m10对m(0，)恒成立，由mln m10，解得m1.若f(x)0在(0，)上恒成立，则m1.(3)证明：11.由(2)得f(x)0在(0，)上恒成立，即ln xx1，当且仅当x
7、1时取等号又由0a1，0ln 1，即1.则11.较高难度题学霸做1(天津高考)设aZ，已知定义在R上的函数f(x)2x43x33x26xa在区间(1,2)内有一个零点x0，g(x)为f(x)的导函数(1)求g(x)的单调区间；(2)设m1，x0)(x0,2，函数h(x)g(x)(mx0)f(m)，求证：h(m)h(x0)0，故当x1，x0)时，H1(x)0，H1(x)单调递增因此，当x1，x0)(x0,2时，H1(x)H1(x0)f(x0)0，可得H1(m)0，即h(m)0.令函数H2(x)g(x0)(xx0)f(x)，则H2(x)g(x0)g(x)由(1)知g(x)在1,2上单调递增，故当x
8、1，x0)时，H2(x)0，H2(x)单调递增；当x(x0,2时，H2(x)0，H2(x)单调递减因此，当x1，x0)(x0,2时，H2(x)H2(x0)0，可得H2(m)0，即h(x0)0.所以h(m)h(x0)0.(3)证明：对于任意的正整数p，q，且1，x0)(x0,2，令m，函数h(x)g(x)(mx0)f(m)由(2)知，当m1，x0)时，h(x)在区间(m，x0)内有零点；当m(x0,2时，h(x)在区间(x0，m)内有零点所以h(x)在(1,2)内至少有一个零点，不妨设为x1，则h(x1)g(x1)f0.由(1)知g(x)在1,2上单调递增，故0g(1)g(x1)0，故f(x)在
9、1,2上单调递增，所以f(x)在区间1,2上除x0外没有其他的零点，而x0，故f0.又因为p，q，a均为整数，所以|2p43p3q3p2q26pq3aq4|是正整数，从而|2p43p3q3p2q26pq3aq4|1.所以.所以只要取Ag(2)，就有.2(苏高考)已知函数f(x)x3ax2bx1(a0，bR)有极值，且导函数f(x)的极值点是f(x)的零点(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b23a；(3)若f(x)，f(x)这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围解：(1)由f(x)x3ax2bx1，得f(x)3x22axb3
10、2b.当x时，f(x)有极小值b.因为f(x)的极值点是f(x)的零点，所以f10，又a0，故b.因为f(x)有极值，故f(x)0有实根，从而b(27a3)0，即a3.当a3时，f(x)0(x1)，故f(x)在R上是增函数，f(x)没有极值；当a3时，f(x)0有两个相异的实根x1，x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值极小值故f(x)的极值点是x1，x2.从而a3.因此b，定义域为(3，)(2)证明：由(1)知， .设g(t)，则g(t).当t时，g(t)0，从而g(t)在上单调递增因为a3，所以a3，故g(a)g(3)，即 .因此b23a.(3)由(1)知，f(x)的极值点是x1，x2，且x1x2a，xx.从而f(x1)f(x2)xaxbx11xaxbx21(3x2ax1b)(3x2ax2b)a(xx)b(x1x2)220.记f(x)，f(x)所有极值之和为h(a)，因为f(x)的极值为ba2，所以h(a)a2，a3.因为h(a)a0，于是h(a)在(3，)上单调递减因为h(6)，于是h(a)h(6)，故a6.因此a的取值范围为(3,6