1、第5节直线、平面垂直的判定与性质 【选题明细表】知识点、方法题号与垂直相关命题的判断3,9直线与平面垂直1,2,6,10平面与平面垂直4,7,14,15线面角、二面角5,8,14综合问题11,12,13基础对点练(时间:30分钟)1.一条直线和一个圆的两条直径都垂直,则这条直线和这个圆所在的平面的位置关系是(B)(A)平行 (B)垂直(C)相交不垂直(D)不确定解析:因为一个圆的两条直径一定相交于圆心,由线面垂直的判定定理知这条直线和这个圆所在的平面垂直.2.如图所示,b,c在平面内,ac=B,bc=A,且ab,ac,bc,若Ca,Db,E在线段AB上(C,D,E均异于A,B),则ACD是(B
2、) (A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)等腰三角形解析:因为ab,bc,ac=B,所以b平面ABC,所以ADAC,故ACD为直角三角形.故选B.3.(2015石家庄调研)设a,b表示直线,表示不同的平面,则下列命题中正确的是(D)(A)若a且ab,则b(B)若且,则(C)若a且a,则(D)若且,则解析:A项中,应该是b或b;B项中,如果是墙角的三个面就不符合题意;C项中,=m,若am时,满足a,a,但是不正确.故选D.4.(2016南昌质检)设a,b是夹角为30的异面直线,则满足条件“a,b,且”的平面,(D)(A)不存在(B)有且只有一对(C)有且只有两对(D)有无数对解析
3、:过直线a的平面有无数个,当平面与直线b平行时,两直线的公垂线与b确定的平面,当平面与b相交时,过交点作平面的垂线与b确定的平面.5.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为(B)(A)(B)(C)(D)解析:如图三棱柱ABCA1B1C1,P为底面A1B1C1的中心,取ABC中心P, 连接PP,AP,AP,则PAP即为所求PA与平面ABC所成的角.由AP=1.又SABC=sin 60=,PP=,PP=,所以tanPAP=,即PAP=.故选B.6.如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱长为2,A
4、C=BC=1,ACB=90,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1平面C1DF,则线段B1F的长为(A) (A)(B)1(C)(D)2解析:设B1F=x,因为AB1平面C1DF,DF平面C1DF,所以AB1DF.由已知可以得A1B1=,矩形ABB1A1中,tan FDB1=,tan A1AB1=,又FDB1=A1AB1,所以=.故B1F=.故选A.7.(2015山东潍坊质检)如图所示,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析:连接AC,BD交于O
5、,因为底面各边相等,所以BDAC; 又PA底面ABCD,所以PABD,又PAAC=A,所以BD平面PAC,所以BDPC.所以当DMPC(或BMPC)时,即有PC平面MBD.而PC平面PCD,所以平面MBD平面PCD.答案:DMPC(或BMPC)8.四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,顶点在底面上的射影是底面正方形的中心,一个对角面的面积是一个侧面面积的倍,则侧面与底面所成锐二面角等于.解析:如图所示,根据=,得=,即为侧面与底面所成锐二面角的正弦值,故侧面与底面所成锐二面角为.答案:9.给出命题:在空间中,垂直于同一平面的两个平面平行;设l,m是不同的直线,是一个平面,若l,lm,则m;
6、已知,表示两个不同平面,m为平面内的一条直线,“”是“m”的充要条件;在三棱锥SABC中,SABC,SBAC,则S在平面ABC内的射影是ABC的垂心;a,b是两条异面直线,P为空间一点,过P总可以作一个平面与a,b之一垂直,与另一条平行.其中,正确的命题是(只填序号).解析:错误,垂直于同一个平面的两个平面也可能相交;错误,“”是“m”的必要不充分条件;错误,只有当异面直线a,b垂直时才可以作出满足要求的平面;易知正确.答案:10.(2014高考山东卷)如图,四棱锥PABCD中,AP平面PCD,ADBC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD, PC的中点. (1)求证:AP平面BEF;(2)
7、求证:BE平面PAC.证明:(1)设ACBE=O,连接OF,EC. 由于E为AD的中点,AB=BC=AD,ADBC,所以AEBC,AE=AB=BC,因此四边形ABCE为菱形,所以O为AC的中点.又F为PC的中点,因此在PAC中,可得APOF.又OF平面BEF,AP平面BEF.所以AP平面BEF.(2)由题意知EDBC,ED=BC.所以四边形BCDE为平行四边形,因此BECD.又AP平面PCD,所以APCD,因此APBE.因为四边形ABCE为菱形,所以BEAC,又APAC=A,AP,AC平面PAC,所以BE平面PAC.11.在直角梯形ABCD中,ADC=90,CDAB,AB=4,AD=CD=2,
8、将ADC沿AC折起,使平面ADC平面ABC,得到几何体DABC,如图所示.(1)求证:BC平面ACD;(2)求几何体DABC的体积.(1)证明:在图中,可得AC=BC=2,从而AC2+BC2=AB2,故ACBC,取AC的中点O,连接DO,则DOAC,又平面ADC平面ABC,平面ADC平面ABC=AC,DO平面ADC,从而DO平面ABC,所以DOBC,又ACBC,ACDO=O,所以BC平面ACD.(2)解:由(1)可知,BC为三棱锥BACD的高,BC=2,SACD=2,所以=SACDBC=22=,由等体积性可知,几何体DABC的体积为.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016四川绵阳诊断)已
9、知l,m,n是三条不同的直线,是不同的平面,则的一个充分条件是(D)(A)l,m,且lm(B)l,m,n,且lm,ln(C)m,n,mn,且lm(D)l,lm,且m解析:对于A,l,m,且lm,如图(1),不垂直;对于B,l,m,n,且lm,ln,如图(2),不垂直;对于C,m,n,mn,且lm,直线l没有确定,则,的关系也不能确定;对于D,l,lm,且m,则必有l,根据面面垂直的判定定理知.13.(2016天津质检)如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:BDAC;BAC是等边三角形;三棱锥DABC是正三棱锥;
10、平面ADC平面ABC.其中正确的是(B)(A)(B)(C)(D)解析:由题意知BD平面ADC,故BDAC,正确;AD为等腰直角三角形斜边BC上的高,平面ABD平面ACD,所以AB=AC=BC,BAC是等边三角形,正确;易知DA=DB=DC,又由知正确;由知错误.14.如图,三棱柱ABCA1B1C1的侧面A1ABB1BC,且A1C与底面成45角,AB=BC=2,则该棱柱体积的最小值为(C) (A)4 (B)3 (C)4(D)3解析:由已知得平面A1ABB1平面ABC且交线为AB,故A1在平面ABC上的射影D在AB上.由A1C与底面成45角得A1D=DC,因为BCAB,所以当CD最小即CD=BC时
11、A1D最小,此时Vmin=ABBCA1D=222=4.故选C.15.(2015河北教学质量监测)已知四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是边长为a的菱形,BAD=120,PA=b. (1)求证:平面PBD平面PAC;(2)设AC与BD交于点O,M为OC中点,若二面角OPMD的正切值为2,求ab的值.(1)证明:因为PA平面ABCD,所以PABD.又底面ABCD为菱形,所以ACBD,所以BD平面PAC,从而平面PBD平面PAC.(2)解:过O作OHPM交PM于H,连接HD. 由(1)知DO平面PAC,所以DHPM,所以OHD为二面角OPMD的平面角.又OD=a,OM=,AM=,且=
12、,从而OH=,tanOHD=2,所以9a2=16b2,即=.精彩5分钟1.已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,AB=BC=CA=3,SA=SB=SC,球心O到平面ABC的距离为1,则SA与平面ABC所成角的大小为(C)(A)30 (B)60(C)30或60(D)45或60解题关键:注意分球心在三棱锥的内部和外部两种情况.解析:球心位置有以下两种情况:球心在三棱锥内部、球心在三棱锥外部.当球心在三棱锥内部时,三棱锥为正三棱锥,设O为ABC的中心,在ABC中,可求得OA=,所以可得OA=2,SO=3,SA与平面ABC所成的角即SAO,由tanSAO=,得SAO=60.同理可得当球心在三棱锥外部时,SA与平面ABC所成角为30.2.在ABC中,ACB=90,AB=8,ABC=60,PC平面ABC,PC=4,M是AB上一个动点,则PM的最小值为.解题关键:作CHAB于H,利用PC平面ABC,得PHAB,PH为PM的最小值.解析:如图,作CHAB于H,连接PH, 因为PC平面ABC,所以PHAB,PH为PM的最小值.PH=2.答案:2