1、玉林市2020年秋季期高二期末质量监测数学(理科)一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据全称命题“”的否定为特称命题“”即可得结果.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，一是要将全称量词改写为存在量词，二是否定结论，所以，命题，的否定为，故选：C.2. 双曲线的焦距是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据双曲线方程，利用公式，直接求解.【详解】由题意可得，则，故该双曲线的焦距是.故选：B3. 某校有学生
2、800人，其中女生有350人，为了解该校学生的体育锻炼情况，按男、女学生采用分层抽样法抽取容量为80的样本，则男生抽取的人数是（ ）A. 35B. 40C. 45D. 60【答案】C【解析】【分析】利用分层抽样的定义直接求解即可【详解】由题意可得男生抽取的人数是故选：C4. 某兴趣小组从包括甲、乙小组成员中任选3人参加活动，若甲、乙至多有一人被选中的概率是，则甲、乙均被选中的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由事件“甲、乙至多有一人被选中”与事件“甲、乙均被选中”为对立事件，可求得答案【详解】由题意可知事件“甲、乙至多有一人被选中”与事件“甲、乙均被选中”为对立事件
3、，则甲、乙均被选中的概率是故选：B5. “椭圆的离心率为”是“”的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义，结合椭圆的性质进行判断即可【详解】由椭圆的离心率为，得或；由，得椭圆的离心率为故“椭圆的离心率为”是“”的必要不充分条件故选：C6. 某工厂从一批产品中抽取一个容量为的样本，根据样本数据分成，四组，得到频率分布直方图如图所示若样本数据落在内的个数是66，则（ ）A. 150B. 300C. 600D. 1200【答案】A【解析】【分析】先由频率分布直方图求出数据落在内的频率，再由频率等于频数
4、除以总数，可求得的值【详解】由图可知样本数据落在内的频率为，则故选：A7. 某篮球队有篮球运动员15人，进行投篮训练，每人投篮100个，命中球数如下表：命中球数90959798100频数12372则这组数据的中位数和众数分别为（ ）A. 97，2B. 98，2C. 97，98D. 98，98【答案】D【解析】【分析】利用中位数和众数的定义直接求解即可【详解】这组数据共有15个，中位数是按大小顺序排列后的第8个数，即98，众数是数据中出现次数最多的数，即98故选：D8. 已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的斜率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析
5、】利用点差法，利用线段的中点坐标求直线的斜率.【详解】设M，.因为，在抛物线上，所以所以.因为为线段的中点，所以，所以，故直线的斜率是.故选：B9. 已知某企业有职工人，其职工年龄情况和绿色出行情况分别如图1和图2所示，则下列说法正确的是（ ）A. 该企业老年职工绿色出行的人数最多B. 该企业青年职工绿色出行的人数最多C. 该企业老年职工绿色出行的人数和青年职工绿色出行的人数之和与中年职工绿色出行的人数相等D. 该企业绿色出行的人数占总人数的【答案】D【解析】【分析】由图中所给数据可求出该企业老年职工绿色出行的人数、中年职工绿色出行的人数和青年职工绿色出行的人数，从而进行比较即可得答案【详解】
6、由图可知该企业老年职工绿色出行的人数是，中年职工绿色出行的人数是，青年职工绿色出行的人数是，则该企业职工绿色出行的人数占总人数的比例为，故A，B，C错误，D正确故选：D10. 已知为内一点，且现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据题意设，是圆的圆周上的三等分点，为的中点，此时满足，再分别求出和的面积，利用几何概型公式计算即可得到答案.【详解】如图所示：设，是圆的圆周上的三等分点，为的中点，此时满足.设圆的半径，则的面积为，的面积为.故所求概率.故选：C11. 在三棱锥中，两两垂直，为棱上一动点，.当与平面所成角最大时，与平面
7、所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先利用线面角的定义，可知当为的中点时，取得最小值，此时与平面所成角最大，再以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量坐标法求线面角的正弦值.【详解】，且，平面，易证平面，则与平面所成角为，当取得最小值时，取得最大值在等腰中，当为的中点时，取得最小值.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量为，则，即令，得.因为，所以与平面所成角的正弦值为.故选：C【点睛】关键点点睛：本题重点考查线面角，既考查了几何法求线面角，又考查向量法求线面角，本题关键是确定点的位置，首先利用线面角的定义确定点的
8、位置，再利用向量法求线面角.12. 已知椭圆的右焦点是，直线与椭圆交于、两点，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求得，结合，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.【详解】设椭圆的左焦点为，在椭圆中，则，由题意可知，点、关于原点对称，且为的中点，所以，四边形为平行四边形，所以，由椭圆的定义可得，即，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：D.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于以下几点：（1）问题中出现了焦点，一般利用相应曲线的定义，本题中利用对称性结合椭圆定义可得出；（2）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围.二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共
9、20分.把答案填在答题卡中的横线上.13. 某校歌手大奖赛比，选手的得分分别为9.4，9.5,9.0,8.7,9.8，则选手的平均分是_【答案】9.28【解析】【分析】直接用平均数的计算公式求平均数【详解】由题意可得选手A的平均分是故答案为：9.2814. 在四棱锥中，底面是矩形，为矩形外接圆的圆心.若，则_.【答案】【解析】【分析】利用空间向量基本定理将用出来，从而可求出的值，进而可得答案【详解】如图，由题意可得，则，故.故答案为：15. 执行如图所示的程序框图，则输出的_.【答案】【解析】【分析】由框图可知，此程序是计算1到19这19个自然数的和【详解】解：由题意可得.故答案为：19016
10、. 已知双曲线的左右焦点分别是，点关于，对称的点分别是，线段的中点在双曲线的右支上，则_.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，设线段的中点为，则由对称性可得，分别是线段，的中点，再结合双曲线的定义可求得结果【详解】如图，设线段的中点为.由双曲线的定义可得.由对称性可得，分别是线段，的中点，则，故.故答案为：16三解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 已知：，：方程表示双曲线.（1）若是真命题，求的取值范围；（2）若是充分不必要条件，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据双曲线方程求得参数的范围；（2）先求得命题中的范围，再
11、根据充分不必要条件的定义或集合包含关系得不等关系，从而得参数范围【详解】解：（1）由题意可得，解得或.故的取值范围为.（2）由题意可得：或.因为是的充分不必要条件，所以，解得.故的取值范围为.18. 某地区脐橙近几年的产量统计如下表：年份20152016201720182019年份代码12345年产量（万吨）771727478（1）求年产量（万吨）关于年份代码的线性回归方程；（2）根据（1）中所求的回归方程预测该地区2021年脐橙的年产量参考公式：，【答案】（1）；（2）8.06万吨【解析】【分析】（1）由题意求和，再根据公式求和；（2）由题意可知，2021年对应的年份代码为7，即，代入回归直
12、线方程，求的值.【详解】解:（1）由题意可得，故年产量（万吨）关于年份代码的线性回归方程（2）由题意可知2021年对应的年份代码为7，即，则（万吨），即该地区2021年脐橙的年产量约为8.06万吨19. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且的面积为（为坐标原点）（1）求抛物线的方程；（2）直线：与抛物线交于，两点，若，求直线的方程【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）分析题意，列方程组，用待定系数法求抛物线的方程；（2）用“设而不求法”联立方程组，把转化为，求出斜率k，得到直线方程【详解】解：（1）由题意可得解得故抛物线的方程为（2）设，联立整理得由题意可知，则，因为，所以，则，即，整
13、理得，解得故直线的方程为【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）设而不求是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.20. 某校为了了解高三学生某次月考数学成绩的情况，抽取这次月考名学生的数学成绩(分数都在内)，按数学成绩分成、这组，得到频率分布直方图如图所示.（1）估计这次月考该校高三学生数学成绩的中位数（结果保留一位小数）；（2）若从数学成绩在内的学生中采用分层抽样的方法随机抽取人，再从这人中随机抽取人，求至少有人的数学成绩在内的概率.【答案】（1）中位数为分；（2）.【解析】【分析】（1）设中位数为，利用中位数左边的矩形面积之和为列等式可求得的值；
14、（2）计算出所抽取的人中数学成绩在的学生有人，记为、，数学成绩在的学生有人，记为、，列举出所有的基本事件，并确定事件“抽取的人中至少有人的数学成绩在内”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）因为，所以中位数在内.设中位数为，则，解得，即这次月考该校高三学生数学成绩的中位数约为分；（2）由题意可得这次月考数学成绩在的人数为，这次月考数学成绩在的人数为，则采用分层抽样的方法随机抽取的人中，数学成绩在的学生有人，记为、，数学成绩在的学生有人，记为、.从这人中随机抽取人的情况有、，共种，其中符合条件的情况有、，共种，故所求概率.【点睛】方法点睛：求解古典概型概率
15、的方法如下：（1）列举法；（2）列表法；（3）树状图法；（4）排列组合数的应用.21. 如图，在三棱柱中，平面平面，底面是等边三角形，侧是菱形，且，是的中点.（1）证明平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据线面平行判定定理即可证明；（2）以为原点，方向分别为，轴的正方向建立空间坐标系，分别求解平面和的法向量再用夹角公式求解即可.【详解】（1）证明：连接，连接由三棱柱的性质可知四边形是平行四边形，则为的中点.因为是的中点，所以.因为平面，平面.所以平面（2）解：因为底面是等边三角形，是的中点，所以因为平面平面，所以平面因为侧面是菱形，且，所以，
16、则，两两垂直.故以为原点，方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，从而，.设平面的法向量，则令，得.设平面的法向量，则，令得.设二面角为，由图可知为钝角，故【点晴】求解二面角关键在于建立空间坐标系用向量法来解决.22. 已知椭圆的离心率为，短轴长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）点，斜率为的直线不过点，且与椭圆交于，两点，(为坐标原点).直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.【答案】（1）；（2）过定点，定点为.【解析】【分析】（1）根据已知条件列方程即可解得值，方程可求解；（2）设直线的方程为，联立椭圆方程结合韦达定理得关系，又得，代入坐标化简即可求解.【详解】解：（1）由题意可得 解得，（2）设直线的方程为，联立整理得，则，因为，所以，所以所以，即整理得，即，则直线的方程为，故直线过定点.【点晴】由得是解题的关键点.