1、高考资源网（） 您身边的高考专家本讲优化总结利用柯西不等式证明不等式柯西不等式的一般形式为(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2(ai，biR，i1，2，n)，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解已知a，b，c，d为不全相等的正数，求证：.【证明】由柯西不等式，于是.等号成立abcd.又已知a，b，c，d不全相等，则中等号不成立即.已知x，y，z是正实数，求证：.证明：因为x，y，z是正实数，设a，b.因为|ab|2|a|2|b|2，所以()2()(yz)(zx)(xy)，所以(xyz)22(xyz)，所以.利用排序不等式证明不
2、等式排序不等式具有自己独特的体现：多个变量的排序与其大小顺序有关，特别是与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷已知a，b，cR，求证abc.【证明】设abc0.于是a2b2c2，.由排序不等式得：a2b2c2a2b2c2，a2b2c2a2b2c2.得2a2b2c2a2b2c2，即2(abc)，所以abc成立在ABC中，求证：.证明：不妨设abc，于是ABC.由排序不等式，得aAbBcCaAbBcC，aAbBcCbAcBaC，aAbBcCcAaBbC.相加，得3(aAbBcC)(abc)(ABC)(abc)，得，又由0bca，0abc，0acb，有0A(bca)C(a
3、bc)B(acb)a(BCA)b(ACB)c(ABC)a(2A)b(2B)c(2C)(abc)2(aAbBcC)得.由、得原不等式成立利用柯西不等式或排序不等式求最值有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定，其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易在利用柯西不等式或排序不等式求最值时，要关注等号成立的条件，不能忽略(1)已知实数x，y，z满足x22y23z23，求ux2y3z的最小值和最大值(2)设a1，a2，a3，a4，a5是互不相同的正整数，求Ma1的最小值【解】(1)因为(x2y3z)2(x1yz)2x2(y)2(z)21
4、2()2()2(x22y23z2)(123)18.当且仅当，即xyz时，等号成立所以3x2y3z3，即u的最小值为3，最大值为3.(2)设b1，b2，b3，b4，b5是a1，a2，a3，a4，a5的一个排列，且b1b2b3b4b5.因此b11，b22，b33，b44，b55.又1.由排序不等式，得a1b11123451.即M的最小值为.1.设实数a1，a2，a3满足条件a1a2a32，求a1a2a2a3a3a1的最大值解：由柯西不等式，得：(aaa)(121212)(a1a2a3)24，于aaa.故a1a2a2a3a3a1(a1a2a3)2(aaa)22(aaa)2，于是a1a2a2a3a3a
5、1的最大值为.当且仅当a1a2a3时，取到最大值.2已知正实数x1，x2，xn满足x1x2xnP，P为定值，求F的最小值解：不妨设0x1x2xn，则0，且0xxx.因为，为序列的一个排列根据排序不等式，得Fxxxx1x2xnP(定值)当且仅当x1x2xn时取等号即F的最小值为P.1设a(1，0，2)，b(x，y，z)，若x2y2z216，则ab的最大值为()A4B4C4 D4解析：选D.因为a(1，0，2)，b(x，y，z)，所以abx2z，由柯西不等式120(2)2(x2y2z2)(x02z)2516(x2z)24x2z44ab4，故ab的最大值为4.2已知实数a，b，c，d，e满足abcde8，a2b2c2d2e216，求e的取值范围解：由柯西不等式得(1111)(a2b2c2d2)(abcd)2，即4(16e2)(8e)2，解得0e，所以e.3设c1，c2，cn为正数组a1，a2，an的某一排列，求证：n.证明：不妨设0a1a2an，则.因为，是，的一个排列，故由排序原理，反序和乱序和得a1a2ana1a2an.即 n.高考资源网版权所有，侵权必究！