1、第6节离散型随机变量的分布列及均值与方差【选题明细表】知识点、方法题号离散型随机变量及其分布列的概念、性质1,2,3,5,8,10离散型随机变量的分布列的期望、方差4,9,13,15,16超几何分布6,7,11,12,14基础对点练(时间:30分钟)1.投掷两枚硬币,不是随机变量的为(A)(A)掷硬币的个数(B)正面向上的个数(C)反面向上的个数(D)正面向上和反面向上的个数之差的绝对值解析:掷硬币的个数为2,不是随机变量;正面向上的个数为0,1,2,是随机变量;反面向上的个数为0,1,2,是随机变量;正面向上和反面向上的个数之差的绝对值为0,2,是随机变量.2.设离散型随机变量X的概率分布列
2、如下:X1234Pp则p的值为(C)(A)(B)(C)(D)解析:由离散型随机变量分布列的性质知P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=1,所以p=1-=.3.设随机变量X的分布列为P(X=i)=a,i=1,2,3,则a的值为(B)(A)(B)(C)(D)解析:根据题意及随机变量分布列的性质得a+a+a=1,解得a=.4.如果随机变量的取值是a1,a2,a3,a4,a5,a6,数学期望是3,那么2(a1-3),2(a2-3),2(a3-3),2(a4-3),2(a5-3),2(a6-3)的数学期望是(A)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:因为E(a+b)=aE()+b.所以
3、E2(-3)=E(2-6)=2E()-6=0.5.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=(k=1,2,3,),则P(3X6)等于(C)(A)(B)(C)(D) 解析:P(36)=P(X=7)+P(X=8)=+=.7.在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率等于的是(C)(A)P(=2)(B)P (2)(C)P(=4)(D)P(4)解析:15个村庄中有7个村庄交通不方便,8个村庄交通方便,表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便,6个交通方便,故P(=4)=.8.甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相
4、同,其中甲袋装有4个红球、2个白球,乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机抽取2个球,则取出的红球个数的取值集合是.解析:甲袋中取出的红球个数可能是0,1,2,乙袋中取出的红球个数可能是0,1,故取出的红球个数的取值集合是0,1,2,3.答案:0,1,2,39.随机变量的分布列如下:-101Pabc其中a,b,c成等差数列,若E()=,则D()=.解析:由题意得2b=a+c,a+b+c=1,c-a=,以上三式联立解得a=,b=,c=,故D()=.答案:10.(2015济南调研)已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回
5、,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出此3球所得分数之和.求X的分布列.解:由题意得X取3,4,5,6,且P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=,P(X=6)=,所以X的分布列为X3456P能力提升练(时间:15分钟)11.50个乒乓球中,合格品45个,次品5个,从这50个乒乓球中任取3个,出现次品的概率是(C)(A) (B)(C)1-(D)解析:出现次品,可以是一个、两个或是三个,与其对立的是都是合格品,都是合格品的概率是,故有次品的概率是1-.12.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中任意抽出3张卡片,设3张卡片上的数字之和为X,则X的数学期望是(A)
6、(A)7.8(B)8(C)16(D)15.6解析:X的取值为6,9,12,相应的概率P(X=6)=,P (X=9)=,P(X=12)=.E(X)=6+9+12=7.8.13.据统计一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005,保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险,交保险费100元,若一年内万元以上财产被窃,保险公司赔偿a元(a1 000),为确保保险公司有可能获益,则a的取值范围是.解析:X表示保险公司在参加保险者身上的收益,其概率分布列为X100100-aP0.9950.005E(X)=0.995100+(100-a)0.005=100-,若保险公司获益,则期望大于0,解得a20 0
7、00,所以a(1 000,20 000).答案:(1 000,20 000)14.一批产品共50件,其中5件次品,45件合格品,从这批产品中任意抽两件,其中出现次品的概率是.解析:设抽到次品的件数为X,则X服从超几何分布,出现次品的概率为P(X1)=P(X=1)+P(X=2)=+=.答案:15.如图,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积V=0).(1)求V
8、=0的概率;(2)求V的分布列及数学期望E(V).解:(1)从6个点中随机选取3个点总共有=20(种)取法,选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有=12(种),因此V=0的概率为P(V=0)=.(2)V的所有可能取值为0,因此V的分布列为V0P故E(V)=0+=.16.(2015北京市通州区高三一模)随着人口老龄化的到来,我国的劳动力人口在不断减少,“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题,为了了解公众对“延迟退休”的态度,某校课外研究性学习小组对某社区随机抽取了50人进行调查,将调查情况进行整理后制成下表:年龄20,25)25,30)30,35)35,40)40,45)人数45853年龄4
9、5,50)50,55)55,60)60,65)65,70)人数67354年龄在25,30),55,60)的被调查者中赞成人数分别是3人和2人,现从这两组的被调查者中各随机选取2人,进行跟踪调查.(1)求年龄在25,30)的被调查者中选取的2人都是赞成的概率;(2)求选中的4人中,至少有3人赞成的概率;(3)若选中的4人中,不赞成的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.解:(1)设“年龄在25,30)的被调查者中选取的2人都是赞成”为事件A,所以P(A)=.(2)设“选中的4人中,至少有3人赞成”为事件B,所以P(B)=+=.(3)X的可能取值为0,1,2,3.所以P(X=0)=,P(X=1
10、)=,P(X=2)=,P(X=3)=.所以X的分布列是X0123P所以E(X)=0+1+2+3=.精彩5分钟1.在五个数字1,2,3,4,5中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是(结果用数值表示).解题关键:所求事件的概率相当于取出三个数为两个偶数一个奇数的概率.解析:剩下两个数字都是奇数,取出的三个数为两偶一奇,所以剩下两个数字都是奇数的概率是P=0.3.答案:0.32.(2015高考上海卷)赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是:顾客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸出一张,将卡片上的数字作为其赌金(单位:元);随后放回卡片,再随机摸出两张,将这两种卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金(单位:元).若随机变量1和2分别表示顾客在一局赌博中的赌金和奖金,则E(1)-E(2)=元.解题关键:利用取第一张卡片的概率都是求出赌金的期望,再计算每种奖金的概率后运用期望公式求出奖金的期望.解析:1的取值为1,2,3,4,5,取各个值的概率都是,故E(1)=3(元).2的取值为1.4,2.8,4.2,5.6.P(2=1.4)=,P(2=2.8)=,P(2=4.2)=,P(2=5.6)=,所以E(2)=1.4+2.8+4.2+5.6=2.8(元).E(1)-E(2)=0.2(元).答案:0.2