1、3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算学 习 目 标核 心 素 养1理解空间向量的概念(难点)2掌握空间向量的线性运算(重点)3掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用(重点、难点)1通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养2借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养.1空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量(2)长度或模：向量的大小(3)表示方法：几何表示法：空间向量用有向线段表示；字母表示法：用字母a，b，c，表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|
2、或|2几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：a的相反向量：相等向量相同相等ab3.向量的加法、减法空间向量的运算加法ab减法ab加法运算律(1)交换律：abba(2)结合律：(ab)ca(bc)4.空间向量的数乘运算(1)定义：实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量，称为向量的数乘运算当0时，a与向量a方向相同；当0时，a与向量a方向相反；当0时，a0；a的长度是a的长度的|倍(2)运算律：(ab)ab；(a)()a5共线向量和共面向量(1)共线向量定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量共线向量
3、定理：对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数使ab点P在直线AB上的充要条件：存在实数t，使t(2)共面向量定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使px_ay_b空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y) 使xy或对空间任意一点O，有xy思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？(2)若空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足，则点P与点A，B，C是否共面？提示(1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，
4、因此一定是共面向量(2)由得()()即，因此点P与点A，B，C共面1如图所示，在四棱柱ABCDA1B1C1D1所有的棱中，可作为直线A1B1的方向向量的有()A1个B2个C3个D4个D共四条：AB，A1B1，CD，C1D1.2已知空间四边形ABCD中，a，b，c，则()Aabc BabcCabc DabcCabc.3在三棱锥ABCD中，若BCD是正三角形，E为其中心，则化简的结果为_0延长DE交边BC于点F，则有，故0.4在正方体ABCDA1B1C1D1中，化简向量表达式的结果为_2()()2.空间向量的有关概念【例1】(1)给出下列命题：若|a|b|，则ab或ab；若向量a是向量b的相反向量
5、，则|a|b|；在正方体ABCDA1B1C1D1中，；若空间向量m，n，p满足mn，np，则mp.其中正确命题的序号是_(2)如图所示，在平行六面体ABCDABCD中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有_；与向量相反的向量有_(要求写出所有适合条件的向量)(1)(2)，(1)对于，向量a与b的方向不一定相同或相反，故错；对于，根据相反向量的定义知|a|b|，故正确；对于，根据相等向量的定义知，故正确；对于，根据相等向量的定义知正确(2)根据相等向量的定义知，与向量相等的向量有，.与向量相反的向量有，.解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向(
6、2)注意点：注意一些特殊向量的特性零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量1如图所示，以长方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)试写出与相等的所有向量；(2)试写出的相反向量；(3)若ABAD2，AA11，求向量的模解(1)与向量相等的向量有，共3个；(2)向量的相反向量为，共4个；(3)|22222129，所以|3.空间向量的线性运
7、算【例2】(1)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的有()()；()；()；().A1个B2个C3个D4个(2)如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：；.思路探究：(1)根据向量的三角形法则和平行四边形法则求解(2)根据数乘向量及三角形法则，平行四边形法则求解(1)D对于，()，对于，()，对于，()，对于，().(2)解：点P是C1D1的中点，acb，点N是BC的中点，abc，点M是AA1的中点，acbcaabc.1空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧
8、用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果2利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质2.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG2GN，设a，b，c，试用a，b，c表示向量.解()abc.共线问题【例3】(
9、1)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知e1ke2，5e14e2，e12e2，且A，B，D三点共线，实数k_(2)如图正方体ABCDA1B1C1D1中，O为A1C上一点，且A1O，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线思路探究：(1)根据向量共线的充要条件求解(2)用向量，分别表示和.(1)1(e1ke2)(5e14e2)(e12e2)7e1(k6)e2.设，则7e1(k6)e2(e1ke2)，所以，解得k1.(2)解：设a，b，c，则()()()abc，()，abc，3，又直线MC1与直线MO有公共点M，C1，O，M三点共线1.判断向量共线的策略(1)熟记共线向量的充要条件：若a
10、b，b0，则存在唯一实数使ab；若存在唯一实数，使ab，b0)，则ab.(2)判断向量共线的关键：找到实数.2.证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线.(1)存在实数，使成立.(2)对空间任一点O，有t（tR）.(3)对空间任一点O，有xy（xy1）.3(1)已知向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，DBA，B，CCB，C，D DA，C，DA因为(a2b)(5a6b)(7a2b)3a6b 所以3.又直线AB，AD有公共点A，故A，B，D三点共线(2)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E在A1D1上，且2，F在
11、对角线A1C上，且.求证：E，F，B三点共线证明设a，b，c，因为2，所以，所以b，()()abc，所以abc.又bcaabc，所以，所以E，F，B三点共线向量共面问题探究问题1能说明P，A，B，C四点共面的结论有哪些？提示(1)存在有序实数对(x，y)，使得xy.(2)空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数组(x，y，z)使得xyz(其中xyz1)(3).2已知向量a，b，c不共面，且p3a2bc，mabc，nabc，试判断p，m，n是否共面提示设pxmyn，即3a2bcx(abc)y(abc)(xy)a(xy)b(xy)c.因为a，b，c不共面，所以而此方程组无解，所以p不能用m
12、，n表示，即p，m，n不共面【例4】如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BMBD，ANAE.求证：向量，共面思路探究：可通过证明xy求证证明因为M在BD上，且BMBD，所以.同理.所以.又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，共面1利用四点共面求参数向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值2证明空间向量共面或四点共面的方法(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若pxayb，则向量p，a，b共面(2)若
13、存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有xyz，且xyz1成立，则P，A，B，C四点共面(3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行4已知A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外的任意一点，若点P分别满足下列关系：(1)263；(2)4.试判断点P是否与点A，B，C共面解法一：(1)3323()(22)，32，即23.根据共面向量定理的推论知：点P与点A，B，C共面(2)设xy(x，yR)，则xy4，x()y()4，(1xy4)(1x)(1y)0，由题意知，均为非零向量，所以x，y满足：显然此方程组无解，故点P与点A，B，C不共面法二：(1)由题意，1，点P与点A，B，
14、C共面(2)4，而41121，点P与点A，B，C不共面1一些特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量2四点P，A，B，C共面对空间任意一点O，都有xyz，且xyz1.3xy称为空间平面ABC的向量表达式由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定4证明(或判断)三点A，B，C共线时，只需证明存在实数，使(或)即可，也可用“对空间任意一点O，有t(1t)”来证明三点A，B，C共线
15、5空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使xy，满足这个关系式的点都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点都满足这个关系式这个充要条件常用于证明四点共面.1在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是()A.2B.C.0D.0C由MAMBMC0得，故M，A，B，C四点共面2如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是上底面A1C1的中点，若xyz，xyz_2()，x，y，z1，xyz2.3已知O是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且2x3y4z，则2x3y4z_1由2x3y4z得2x3y4z，所以2x3y4z1，即2x3y4z1.4.如图，在空间四边形ABCD中，G为BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简，并在图中标出化简结果的向量解G是BCD的重心，BE是CD边上的中线，.又()，(如图所示)