1、2021年“超级全能生”高三高考数学联考试卷（理科）（丙）（B卷）（1月份）一、选择题（每小题5分）.1若集合A2，1，0，1，BxZ|0，则AB（）A0，1B2，2C1，0，1D2，1，0，1，22若复数z（i为虚数单位），则|z|（）ABC5D53已知直线yx的倾斜角为，则cos2（）ABCD4已知函数f（x），则f（x）的图象可能是（）ABCD5某校管理部门为了解师生对学校食堂餐饮服务的满意度，随机抽取了200名师生的评分（满分100分）作为样本，将数据按照40，50），50，60），90，100分成6组，绘制成如图所示的频率分布直方图，根据直方图估计200名师生的满意度评分的平均数是（
2、同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（）A85B82.8C80.4D70.26已知函数f（x）Acos（x+）（A0，0，0）的部分图象如图所示，则（）Af（x）cos（x）Bf（x）cos（x+）Cf（x）cos（）Df（x）cos（+）7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M为B1D1上一动点（含端点），则下列四个结论：AM平面BC1D；CMB1D1；平面ACM平面AB1D1；点M到平面BC1D的距离为定值其中正确的结论个数是（）A1B2C3D482020年1月，教育部出台关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的
3、高校自主招生方式如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，那么三人中恰有两人通过的概率为（）ABCD9某电视综艺节目中，设置了如下游戏环节：工作人员分别在四位嘉宾甲、乙、丙、丁的后背贴上一张数字条，数字是1或2中的一个，每人都能看到别人的号码，但看不到自己后背的号码丁问：“你们每人看到几个1、几个2？”甲说：“我看到三个1”乙说：“我看到一个2和两个1”丙说：“我看到三个2”三个回答中，只有号码是1的嘉宾说了假话，则号码为2的嘉宾有（）A乙B甲、乙C丁D乙、丁10设过点A（1，0）的直线l与圆C：（x3）2+（y4）24交于E，F两点，线段EF的中点为M若l与y轴的交点为N，则的取值范围是（
4、）A（0，2B（0，）C2，）D2，11已知抛物线y22px（p0）的焦点为F，过点F的直线交抛物线于点A，B（点A在第一象限），过A，B两点分别作准线的垂线，垂足为C，D连接CF交y轴于点H，若DHAB，则直线AB的斜率为（）A1BC2D212已知函数f（x）exa+eax+x2a2lnx2（a0），若f（x）有2个零点，则a的取值范围是（）A（0，B（0，e2）C（，+）De2，+）二、填空题（每小题5分）.13已知（1，），若向量满足（+），则在方向上的投影为 14锐角三角形ABC的面积为S，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2S（b2+c2a2）sin2A，则A 15过双曲线（a
5、0，b0）的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为Q，直线FQ与双曲线的左、右两支分别交于点M，N，若|MQ|3|QN|，|FN|4，则双曲线的标准方程是 16在古代土木工程的计算中，需要研究一些特殊的几何体，九章算术记载的堑堵（qin d）就是其中之一堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱在堑堵ABCA1B1C1中，ACABAA12，E是A1C1的中点，M是侧面ABB1A1内（含边界）的一个动点，若EMA1CMA，则CM的最大值是 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（
6、一）必考题：共60分。17已知数列an的前n项和为Sn，且满足2（Sn+1）3an+（n1）2（nN*）（）求证：数列ann是等比数列；（）求数列an的通项公式及S418某购物网站统计了A，B两款手机在2020年7月至11月的总销售量y（单位：百部），得到以下数据：月份x7891011销售量y100120110120200（）已知销售量y与月份x满足线性相关关系，求出y关于x的线性回归方程，并预测12月的手机销售量；（）网站数据分析人员发现：A，B两款手机11月的销售量与顾客性别有关请填写下面的22列联表，并判断能否有超过99.5%的把握认为“A，B两款手机11月的销售量与顾客性别有关”？男性
7、顾客女性顾客合计A款销售量90B款销售量50合计90参考公式：，其中na+b+c+d临界值表：P（K2k0）0.0100.0050.001k06.6357.87910.82819如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，DD1平面ABCD，BB1平面ABCD，且BB1DD12，E，F分别是AD1，AB1的中点（）证明：平面BDEF平面CB1D1；（）若ADC120，求直线DB1与平面BDEF所成角的正弦值20已知函数f（x）x2ax+lnx（a0）（）讨论函数f（x）的单调性；（）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1x2），且f（x1）x1x2（R）恒成立，求的取值范围21已知椭圆的两个焦点分别
8、为F1，F2，点P（，1）在椭圆上，且F1PF290（）求椭圆的标准方程；（）不过点P的直线与椭圆交于A，B两点，且OP平分线段AB（O为坐标原点）设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，试判断k1k2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由（二）选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程是sin（）求曲线C1的极坐标方程和直线C2的直角坐
9、标方程；（）过点O的直线l与C1异于点O的交点为点A，与C2的交点为点B，求|OA|OB|的值选修4-5：不等式选讲23（）若a，bR，且满足3，证明：6；（）若a，bR，且满足，证明：6参考答案一、选择题（每小题5分）.1若集合A2，1，0，1，BxZ|0，则AB（）A0，1B2，2C1，0，1D2，1，0，1，2解：集合A2，1，0，1，BxZ|0x|2x20，1，2，AB2，1，0，1，2故选：D2若复数z（i为虚数单位），则|z|（）ABC5D5解：由z，则|z|，故选：B3已知直线yx的倾斜角为，则cos2（）ABCD解：直线yx的倾斜角为，tan，cos2故选：A4已知函数f（x）
10、，则f（x）的图象可能是（）ABCD解：函数的定义域为R，f（x）cosf（x），函数f（x）为奇函数，即图象关于原点对称，故排除CD；又f（1）cos0，故排除B故选：A5某校管理部门为了解师生对学校食堂餐饮服务的满意度，随机抽取了200名师生的评分（满分100分）作为样本，将数据按照40，50），50，60），90，100分成6组，绘制成如图所示的频率分布直方图，根据直方图估计200名师生的满意度评分的平均数是（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（）A85B82.8C80.4D70.2解：根据平均数的计算方法：每组区间的中点值乘以对应的频率，并求和，所以平均数的估计值为450.02+
11、550.04+650.16+750.18+850.36+950.2480.4故选：C6已知函数f（x）Acos（x+）（A0，0，0）的部分图象如图所示，则（）Af（x）cos（x）Bf（x）cos（x+）Cf（x）cos（）Df（x）cos（+）解：由图知，A，把点（0，） 代入f（x）得，cos，cos，（0，），f（x）cos（x+），把点（，）代入得，cos（+）1，+2k，kZ，+k，kZ，0，f（x）cos（x+），故选：D7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M为B1D1上一动点（含端点），则下列四个结论：AM平面BC1D；CMB1D1；平面ACM平面AB1D1；点M到平
12、面BC1D的距离为定值其中正确的结论个数是（）A1B2C3D4解：连结AD1，BC1，AB1，AM，CM，AC，BD，DC1，如图所示，因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以C1D1BA，且C1D1BA，故四边形ABC1D1是平行四边形，所以AD1BC1，又AD1平面BC1D，BC平面BC1D，所以AD1平面BC1D，同理AB1平面BC1D，又AD1AB1A，所以平面AB1D1平面BC1D，又AM平面AB1D1，所以AM平面BC1D，故选项正确；因为B1D1平面BC1D，所以点M到平面BC1D的距离为定值，故选项正确；只有当M是B1D1的中点时，CMB1D1，平面ACM平面AB1D1，但与
13、M是动点矛盾，故选项错误故选：B82020年1月，教育部出台关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，那么三人中恰有两人通过的概率为（）ABCD解：甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，则三人中恰有两人通过的概率为：P+（1）故选：C9某电视综艺节目中，设置了如下游戏环节：工作人员分别在四位嘉宾甲、乙、丙、丁的后背贴上一张数字条，数字是1或2中的一个，每人都能看到别人的号码，但看不到自己后背的号码丁问：“你们每人看到几个1、几个2？”甲说：“我看到三个1”乙说：“我看到
14、一个2和两个1”丙说：“我看到三个2”三个回答中，只有号码是1的嘉宾说了假话，则号码为2的嘉宾有（）A乙B甲、乙C丁D乙、丁解：若甲说真话，则乙、丙说假话，但按甲所说内容看，乙说的又是真话，矛盾，所以甲说的是假话，进而可确定丙也说的是假话，若乙说的是假话，要么甲、丙中至少有一个2，要么甲、乙、丁都是1，以上情形相互矛盾，所以乙说的是真话，号码为2的嘉宾只能是乙和丁，故选：D10设过点A（1，0）的直线l与圆C：（x3）2+（y4）24交于E，F两点，线段EF的中点为M若l与y轴的交点为N，则的取值范围是（）A（0，2B（0，）C2，）D2，解：由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程
15、为：xmy+1，令x0，可得y，N（0，），圆心C到直线l的距离d，且dr，2，解得：0m，而|AC|2（31）2+4220，由题意可得|AM|，|AN|，设f（m），则f（m）4，0m，f（m）0，即f（m）在曲线（0，）上单调递增，f（0）f（m）f（），即0f（m），故选：B11已知抛物线y22px（p0）的焦点为F，过点F的直线交抛物线于点A，B（点A在第一象限），过A，B两点分别作准线的垂线，垂足为C，D连接CF交y轴于点H，若DHAB，则直线AB的斜率为（）A1BC2D2解：设HD与x轴的交点为E，由抛物线的定义可知AFAC，BFBD，因为BDx轴，DHAB，所以四边形BDEF是菱
16、形，又因为ACAF，所以ACFAFC，因为ACEF，所以ACFEFH，即EFHAFC，因为DHAB，所以EHFAFC，所以EFHEHF，所以EHEF，在菱形BDEF中，EFED，所以EHED，所以E是DH的中点，又点F到准线的距离为p，所以|EF|，所以|EO|，在直角三角形EOH中，|OH|，所以B（），又F（，0），所以直线AB的斜率k，故选：D12已知函数f（x）exa+eax+x2a2lnx2（a0），若f（x）有2个零点，则a的取值范围是（）A（0，B（0，e2）C（，+）De2，+）解：令f（x）0，得exa+eax2x2+a2lnx，设g（x）exa+eax2，由基本不等式的性质
17、得：exa+eax2220，当且仅当xa时，g（x）取得最小值0，设h（x）x2+a2lnx（a0），则h（x）x+，当0xa时，h（x）0，h（x）单调递增，当xa时，h（x）0，h（x）单调递减，故xa时，h（x）取到最大值a2+a2lna，若f（x）有2个零点，则g（x）与h（x）有2个交点，此时a2+a2lna0，解得：a，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知（1，），若向量满足（+），则在方向上的投影为解：（1，），向量满足（+），0，3在方向上的投影为：故答案为：14锐角三角形ABC的面积为S，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2S（b2+c2a2
18、）sin2A，则A解：因为b2+c2a22bccosA，2S（b2+c2a2）sin2A，所以22bccosA2sinAcosA，因为sinA0，所以cos2A，因为A为锐角，cosA0，所以cosA，故A故答案为：15过双曲线（a0，b0）的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为Q，直线FQ与双曲线的左、右两支分别交于点M，N，若|MQ|3|QN|，|FN|4，则双曲线的标准方程是1解：不妨取点F（c，0）作渐近线yx的垂线，则|FQ|b，设OFQ，则cos，设F1为双曲线的左焦点，连接MF1，由双曲线的定义知，|MF1|MF|2a，在MFF1中，由余弦定理知，|MF1|2|MF|2+|FF
19、1|22|MF|FF1|cos，（|MF|2a）2|MF|2+4c22|MF|2c，|MF|，同理可得，|FN|，|MQ|3|QN|，|MF|QF|3（|QF|NF|），即b3（b），化简得ab，将其代入|FN|4，得a3，b6，双曲线的标准方程为故答案为：16在古代土木工程的计算中，需要研究一些特殊的几何体，九章算术记载的堑堵（qin d）就是其中之一堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱在堑堵ABCA1B1C1中，ACABAA12，E是A1C1的中点，M是侧面ABB1A1内（含边界）的一个动点，若EMA1CMA，则CM的最大值是解：作MNAA1于点N，如图所示，设ANx（0x2）
20、，MNy，因为EMA1CMA，可得MACMA1E，故，所以MA2MA1，即，整理可得，又，因为在0，1上单调递增，所以当x2时，CM取得最大值为故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17已知数列an的前n项和为Sn，且满足2（Sn+1）3an+（n1）2（nN*）（）求证：数列ann是等比数列；（）求数列an的通项公式及S4【解答】（）证明：由题意，当n1时，2（S1+1）3a1，即2（a1+1）3a1，解得a12，故a11211，当n2时，由2（S
21、n+1）3an+（n1）2，可得2（Sn1+1）3an1+（n2）2，两式相减，可得2an3an3an1+（n1）2（n2）2，整理，可得an3an12n+3，两边同时减去n，可得ann3an13n+33an1（n1），数列ann是以1为首项，3为公比的等比数列（）解：由（）知，ann13n13n1，ann+3n1，nN*，则S4a1+a2+a3+a4（1+1）+（2+31）+（3+32）+（4+33）（1+2+3+4）+（1+31+32+33）10+405018某购物网站统计了A，B两款手机在2020年7月至11月的总销售量y（单位：百部），得到以下数据：月份x7891011销售量y1001
22、20110120200（）已知销售量y与月份x满足线性相关关系，求出y关于x的线性回归方程，并预测12月的手机销售量；（）网站数据分析人员发现：A，B两款手机11月的销售量与顾客性别有关请填写下面的22列联表，并判断能否有超过99.5%的把握认为“A，B两款手机11月的销售量与顾客性别有关”？男性顾客女性顾客合计A款销售量90B款销售量50合计90参考公式：，其中na+b+c+d临界值表：P（K2k0）0.0100.0050.001k06.6357.87910.828解：（）由已知可得，所以，故13018050，所以y关于x的线性回归方程为20x50，当x12时，201250190，因此预测1
23、2月的手机销售量为190百部；（）补全22列联表如表所示：男性顾客女性顾客合计A款销售量 3060 90 B款销售量 60 50 110 合计90 110200，因为8.9997.879，所以有超过99.5%的把握认为“A，B两款手机11月的销售量与顾客性别有关”19如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，DD1平面ABCD，BB1平面ABCD，且BB1DD12，E，F分别是AD1，AB1的中点（）证明：平面BDEF平面CB1D1；（）若ADC120，求直线DB1与平面BDEF所成角的正弦值【解答】（）证明：连接AC，交BD于点O，连接OE，则O为AC的中点，E是AD1的中点，OECD1，又F是
24、AB1的中点，EFB1D1，OEEFE，OE、EF平面BDEF，CD1B1D1D1，CD1、B1D1平面CB1D1，平面BDEF平面CB1D1（）解：取AB的中点M，连接DM，在菱形ABCD中，ADC120，ABD为正三角形，DMAB，DD1平面ABCD，故以D为原点，DM，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（3，0），E（，1），B1（3，2），（3，2），（3，0），（，1），设平面BDEF的法向量为（x，y，z），则，即，令x1，则y，z3，（1，3），设直线DB1与平面BDEF所成角为，则sin|cos，|，故直线DB1与平面B
25、DEF所成角的正弦值为20已知函数f（x）x2ax+lnx（a0）（）讨论函数f（x）的单调性；（）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1x2），且f（x1）x1x2（R）恒成立，求的取值范围解：（）由题意f（x） 的定义域是（0，+），f（x）xa+2a，当且仅当x时“”成立，当2a0即0a2时，f（x）0，f（x）在（0，+）单调递增，当2a0即a2时，令f（x）0，即x2ax+10，a240，解得：x或x，且均为正数，则函数f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+）递增；综上：0a2时，f（x）在（0，+）单调递增，a2时，函数f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+）递增（
26、）若f（x）有2个极值点x1，x2，则x1，x2是方程x2ax+10的两根不相等的正实数根，故结合（）可知x1+x2a2，x1x21，又x1x2，0x21x1，由f（x1）x1x2（R）恒成立，可得（R）恒成立，而（1+a）+x1lnx1x1+x1lnx1（x11），令g（x）x3x2x+xlnx（x1），则g（x）x22x+lnx，令h（x）x22x+lnx，则h（x）3x2+0，则函数h（x）在（1，+）上单调递减，故h（x）h（1）0，故g（x）0，则g（x）在（1，+）上单调递减，g（x）g（1），可得，故的取值范围是，+）21已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，点P（，1）在椭圆上，
27、且F1PF290（）求椭圆的标准方程；（）不过点P的直线与椭圆交于A，B两点，且OP平分线段AB（O为坐标原点）设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，试判断k1k2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由解：（）设F1（c，0），F2（c，0），由F1PF290，得0，所以（c，1）（c，1）0，解得c2，因为点P（，1）在椭圆上，所以+1，又因为a2b2+c2，所以a，b，所以椭圆的标准方程为+1（）设点A（x1，y1），B（x2，y2），因为点A，B在椭圆上，所以+1，+1，两式相减变形后得，所以kAB，得kAB，设直线AB的方程为yx+t，联立，得2x22tx+（3t26）0，
28、所以4812t20，x1+x2t，x1x2t23，所以k1k2，所以k1k2是定值，其值为（二）选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程是sin（）求曲线C1的极坐标方程和直线C2的直角坐标方程；（）过点O的直线l与C1异于点O的交点为点A，与C2的交点为点B，求|OA|OB|的值解：（）曲线C1的参数方程是（为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y1）21，整理得x2+y22y，根据，转换为极坐标方程为2sin直线C2的极坐标方程是sin，根据，转换为直角坐标方程为y（）设直线l的极坐标方程为，与曲线C1的交点为A，则，整理得12sin，与曲线C2的交点为B，则，整理得，所以选修4-5：不等式选讲23（）若a，bR，且满足3，证明：6；（）若a，bR，且满足，证明：6【解答】证明：（）由3得：a3，+，即6成立，当且仅当ab2时，等号成立（）由柯西不等式得（1+）（），即，当且仅当abc时，等号成立