1、第3节平面向量的数量积及平面向量的应用【选题明细表】知识点、方法题号平面向量的数量积2,4,12平面向量的夹角与垂直1,7,8平面向量的模3,8平面向量数量积的综合问题6,9,10,11平面向量与其他知识的交汇5,13,14基础对点练(时间:30分钟)1.(2016内江模拟)已知向量a=(1,-2),b=(x,2),若ab,则|b|等于(B)(A) (B)2 (C)5 (D)20解析:由题意可得ab=(1,-2)(x,2)=x-4=0,解得x=4.故|b|=2.2.(2015开封二模)若向量a=(1,2),b=(-3,4),则(ab)(a+b)等于(B)(A)20(B)(-10,30)(C)5
2、4(D)(-8,24)解析:因为ab=1 (-3)+24=5,a+b=(1,2)+(-3,4)=(-2,6),所以(ab)(a+b)=5(-2,6)=(-10,30).3.(2015衡阳县校级一模)设向量a,b,满足|a|=|b|=1,ab=-,则|a+2b|等于(B)(A)(B)(C)(D)解析:因为向量a,b满足|a|=|b|=1,ab=-,所以|a+2b|2=a2+4ab+4b2=1-2+4=3,所以|a+2b|=.4.(2016日照模拟)如图,在ABC中,AB=BC=4,ABC=30,AD是边BC上的高,则的值等于(B) (A)0(B)4(C)8(D)-4解析:因为AB=BC=4,AB
3、C=30,AD是边BC上的高,所以AD=4sin 30=2.所以=(+)=+=24=4.5.(2016遵义校级期末)在ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边,设向量m=(b-c,c-a),n=(b,c+a),若mn,则角A的大小为(B)(A)(B)(C)(D)解析:因为mn,所以mn=b(b-c)+(c+a)(c-a)=0,化为b2-bc+c2-a2=0,即b2+c2-a2=bc.所以cos A=.因为A(0,),所以A=.6.(2016桂林校级模拟)ABC中,BAC=120,AB=2,AC=1,D是边BC上的一点(包括端点),则的取值范围是(D)(A)1,2(B)0,1(C)0
4、,2(D)-5,2解析:因为D是边BC上的一点(包括端点),所以可设=+(1-)(01).因为BAC=120,AB=2,AC=1,所以=21cos 120=-1.所以=+(1-)(-)=(2-1)-+(1-)=-(2-1)-4+1-=-7+2.因为01,所以-7+2-5,2.所以的取值范围是-5,2.7.(2016武汉华中师范大学第一附属中学高三期中)已知a与b的夹角为120,若(a+b)(a-2b),且|a|=2,则b在a方向上的投影为.解析:因为向量a与b的夹角为120,则b在a方向上的投影为|b|cos 120=-|b|,因为(a+b)(a-2b)(a+b)(a-2b)=02|b|2-|
5、b|-4=0,所以|b|=,则b在a方向上的投影为-.答案:-8.(2015海淀区模拟)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=6,a(b-a)=2,则a与b的夹角为;|2a-b|=.解析:因为|a|=1,|b|=6,a(b-a)=2,所以ab-a2=2,所以16cos -1=2,所以cos =,因为0,所以=,|2a-b|=2.答案:29.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(xR).(1)若ab,求x的值;(2)若ab,求|a-b|.解:(1)由ab,得ab=0,故2x+3-x2=0,解得x=-1或x=3.(2)a-b=(-2x-2,2x),因为ab,所以x(2x+3)+x=0
6、,解得x=0或x=-2.当x=0时,a-b=(-2,0),|a-b|=2.当x=-2时,a-b=(2,-4),|a-b|=2.综上,|a-b|为2或2.10.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61,(1)求a与b的夹角;(2)求|a+b|;(3)若=a,=b,求ABC的面积.解:(1)因为(2a-3b)(2a+b)=61,所以4|a|2-4ab-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,所以64-4ab-27=61,所以ab=-6.所以cos =-.又0,所以=.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=42+2(-6)+32=13,所以|a+b|=
7、.(3)因为与的夹角=,所以ABC=-=.又|=|a|=4,|=|b|=3,所以SABC=|sinABC=43=3.能力提升练(时间:15分钟)11.(2016保定模拟)设向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|=1,则|a-tb|(tR)的最小值为(D)(A)2(B)(C)1(D)解析:设向量a,b的夹角为,因为|a|=|b|=|a+b|=1,所以a2+2ab+b2=1+1+211cos =1,解得cos =-,所以=,所以|a-tb|2=a2-2tab+t2b2=t2+t+1=（t+）2+,当t=-时,上式取到最小值,所以|a-tb|的最小值为.12.(2016重庆巴蜀中学高三月考)由点P
8、向圆x2+y2=2引两条切线PA,PB,A,B是切点,则的最小值是(D)(A)6-4(B)3-2(C)2-3(D)4-6解析:根据题意,作出示意图,如图所示,设|PA|=|PB|=x(x0),APO=,则APB=2,|PO|=,所以sin =,cosAPB=cos 2=1-2sin2=,所以=|cos 2=x2=(2+x2)+-62-6=4-6,当且仅当2+x2=,即x=时等号成立,故选D.13.(2015高考广东卷)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=(,-),n=(sin x,cos x),x.(1)若mn,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.解:(1)因为mn,所以mn
9、=sin x-cos x=0.即sin x=cos x,又x(0,),所以tan x=1.(2)易求得|m|=1,|n|=1.因为m与n的夹角为,所以cos=.则sin x-cos x=sin(x-)=.又因为x(0,),所以x-(-,).所以x-=,解得x=.14.(2015黄山一模)已知a=(sin(-),-1),b=(-1,3),其中(0,),且ab,(1)求sin 的值;(2)已知ABC中,A=,BC=2+1,求边AC的最大值.解:(1)因为ab,所以3sin(-)=1,即sin(-)=.因为(0,),所以(-)(-,).所以cos(-)=.所以sin =sin(-+)=sin(-)c
10、os +cos(-)sin =(+)=.(2)在ABC中,由正弦定理可得=,所以=3,所以AC=3sin B3,当且仅当sin B=1,即B=时取等号,所以边AC的最大值是3.精彩5分钟1.(2015南昌市一模)已知三角形ABC中,AB=AC,BC=4,BAC=120,=3,若P是BC边上的动点,则的取值范围是.解题关键:用表示后,把转化为含的代数式后求解.解析:因为三角形ABC中,AB=AC,BC=4,BAC=120,所以AB=,ABC=30,所以=4(-)=-8,因为=3,所以=,=,01.因为=(+)(+)=+3,所以=-8+12+(-8)=4-,01.所以的取值范围是-,.答案:-,2
11、.(2015兴国县一模)如图,在OAB中,点P是线段OB及线段AB延长线所围成的阴影区域(含边界)的任意一点,且=+y,则在直角坐标平面内,实数对(x,y)所示的区域在直线y=4的下侧部分的面积是.解题关键:本题中OAB可为任意三角形,故可一般问题特殊化处理,把AOB视为等腰直角三角形,建立坐标系求解.解析:设OA=OB=1,OAOB,以OA所在的直线为x轴,以OB所在的直线为y轴建立直角坐标系,则有=(1,0),=(0,1),直线AB的方程为x+y=1,=x+y=(x,0)+(0,y)=(x,y),实数对(x,y)所示的区域在直线y=4的下侧部分为直角边为3的等腰直角三角形,面积S=33=.答案:
