1、第6节圆锥曲线的综合问题 【选题明细表】知识点、方法题号圆锥曲线的综合问题2、4、6、11直线与圆锥曲线的综合问题3、8、9、14圆与圆锥曲线的综合问题7、10、12、13圆锥曲线与其他内容的综合1、5一、选择题1.椭圆+=1(ab0)的左顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,D是它短轴上的一个端点,若3=+2,则该椭圆的离心率为(D)(A)(B)(C)(D)解析:设D(0,b),则=(-c,-b),=(-a,-b),=(c,-b),由3=+2得-3c=-a+2c,即a=5c,e=.故选D.2.(2012年高考福建卷)已知双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其
2、渐近线的距离等于(A)(A)(B)4(C)3(D)5解析:抛物线y2=12x的焦点是(3,0),c=3,b2=c2-a2=5.双曲线的渐近线方程为y=x,焦点(3,0)到y=x的距离d=.故选A.3.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A、B两点,过原点与线段AB中点直线的斜率为,则的值为(A)(A)(B)(C)(D)解析:设交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),中点为M(x0,y0),将y=1-x代入ax2+by2=1得(a+b)x2-2bx+b-1=0,故x1+x2=,x0=,y1+y2=2-=,y0=,k=.故选A.4.(2013山东淄博一中高三上期末考试)过椭圆+=1(a
3、b0)的焦点垂直于x轴的弦长为,则双曲线-=1的离心率e的值是(B)(A)(B)(C)(D)解析:设椭圆的半焦距为c1,在椭圆中当x=c1时,+=1,y2=b21-=,y=.=,即a2=4b2,设双曲线的半焦距为c2,在双曲线中=a2+b2=5b2,e=.故选B.5.(2013河北省衡水中学高三模拟)点P在双曲线-=1(a0,b0)上,F1、F2是双曲线的两个焦点,F1PF2=90,且F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是(D)(A)(B)(C)2(D)5解析:不妨设点P在双曲线的右支上,F1为左焦点,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则r1-r2=2a,2r1=r2+2c,
4、解得r1=2c-2a,r2=2c-4a,代入+=4c2可得c2+5a2-6ac=0,两边同除以a2得e2-6e+5=0,解得e=1或e=5.又e1,所以e=5.故选D.6.(2013福建泉州质检)如图所示,在等腰梯形ABCD中,ABCD,且,AB=2AD.设DAB=,0,以A、B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1,以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,则(B)(A)随着角度的增大,e1增大,e1e2为定值(B)随着角度的增大,e1减小,e1e2为定值(C)随着角度的增大,e1增大,e1e2也增大(D)随着角度的增大,e1减小,e1e2也减小解析:设AD=1,则AB=2,DC=2-2co
5、s ,在ABD中,由余弦定理得BD=,e1=,0,所以随着角度的增大,e1减小;又e2=,e1e2=1,故选B.7.过双曲线-=1(a0,b0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,若T为线段FP的中点,则该双曲线的渐近线方程为(B)(A)xy=0(B)2xy=0(C)4xy=0(D)x2y=0解析:如图所示,设双曲线的另一个焦点为F,连结OT、PF.FT为圆的切线,FTOT,且|OT|=a,又T、O分别为FP、FF的中点,OTPF且|OT|=|PF|,|PF|=2a,且PFPF.又|PF|-|PF|=2a,|PF|=4a.在RtPFF中,|PF|2+|P
6、F|2=|FF|2,即16a2+4a2=4c2,=5.=-1=4,=2,即渐近线方程为y=2x,即2xy=0.故选B.二、填空题8.(2012年高考重庆卷)设P为直线y=x与双曲线-=1(a0,b0)左支的交点,F1是左焦点,PF1垂直于x轴,则双曲线的离心率e=.解析:由消去y得x=a.又PF1x轴,a=c,e=.答案:9.(2013东莞模拟)已知抛物线C的方程为x2=y,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是.解析:当t=0时,直线AB与抛物线C有公共点,当t0,则过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线方程为=,即4x-ty-t=0,由得2tx
7、2-4x+t=0,=16-42t20,解得t.答案:(-,-)(,+)10.过双曲线C:-=1(a0,b0)的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线,切点分别为A、B.若AOB=120(O是坐标原点),则双曲线C的离心率为.解析:如图,由题知OAAF,OBBF且AOB=120,AOF=60.又OA=a,OF=c,=cos 60=,=2.答案:211.(2013安徽蚌埠二模)点A是抛物线C1:y2=2px(p0)与双曲线C2:-=1(a0,b0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的准线的距离为p,则双曲线C2的离心率等于.解析:设A(x0,y0),A在抛物线上,x0+=p,x0=,由=2px
8、0得y0=p或y0=-p.双曲线渐近线的斜率=2.e=.答案:三、解答题12.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且椭圆经过圆C:x2+y2-4x+2y=0的圆心C.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切,求直线l的方程.解:(1)圆C方程可化为(x-2)2+(y+)2=6,圆心C(2,-),半径r=设椭圆的方程为+=1(ab0),则所求椭圆的方程是+=1.(2)由(1)得椭圆的左右焦点分别是F1(-2,0),F2(2,0),|F2C|=)的右焦点F在圆D:(x-2)2+y2=1上,直线l:x=my+3(m0)交椭圆于M、N两点.(1)求椭圆C的方程;(2)若(O
9、为坐标原点),求m的值;(3)若点P的坐标是(4,0),试问PMN的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.解:(1)由题意知,圆D:(x-2)2+y2=1的圆心坐标是(2,0),半径是1,故圆D与x轴交于两点(3,0),(1,0),所以在椭圆中c=3或c=1,又b2=3,所以a2=12或a2=4(不满足a,舍去),于是,椭圆C的方程为+=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l与椭圆C方程联立化简并整理得(m2+4)y2+6my-3=0,y1+y2=,y1y2=,x1+x2=m(y1+y2)+6=,x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+9=+9=
10、.,=0,即x1x2+y1y2=0得=0,所以m2=,m=.(3)SPMN=|FP|y1-y2|=1=2=22=1.当且仅当m2+1=3,即m=时等号成立.故PMN的面积存在最大值1.14.(2013黄冈一模)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆的方程为+=1(ab0),它的离心率为,一个焦点是(-1,0),过直线x=4上一点引椭圆的两条切线,切点分别是A、B.(1)求椭圆的方程;(2)若椭圆:+=1(ab0)在点(x0,y0)处的切线方程是:+=1.求证:直线AB恒过定点C,并求出定点C的坐标;(3)求证:+为定值 (点C为直线AB恒过的定点).(1)解:椭圆的焦点是(-1,0),故c=1,
11、又=,所以a=2,b=,所以所求的椭圆方程为+=1.(2)解:设切点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),直线l上一点M的坐标(4,t),则切线AM、BM的方程分别为+=1,+=1.又两切线均过点M,所以x1+y1=1,x2+y2=1,即点A,B的坐标都适合方程x+y=1,故直线AB的方程是x+y=1,显然直线x+y=1恒过点(1,0),故直线AB恒过定点C(1,0).(3)证明:将直线AB的方程x=-y+1,代入椭圆方程,得3-y+12+4y2-12=0,即+4y2-2ty-9=0,y1+y2=,y1y2=,不妨设y10,y2b0)的离心率为,直线l:y=x+2与以原点为圆心,椭圆的短半
12、轴为半径的圆O相切.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆C与曲线|y|=kx(k0)的交点为A、B,求OAB面积的最大值.解:(1)由题设可知,圆O的方程为x2+y2=b2,因为直线l:x-y+2=0与圆O相切,故有=b,所以b=.又e=,所以有a2=3c2=3(a2-b2),所以a2=3,所以椭圆C的方程为+=1.(2)设点A(x0,y0)(x00,y00),则y0=kx0,设AB交x轴于点D,如图,由对称性知:SOAB=2SOAD=2x0y0=k.由解得=.所以SOAB=k=.当且仅当=3k,即k=时取等号.所以OAB面积的最大值为.3.(2013泉州五中模拟)已知抛物线C:x2=2py(p
13、0)上一点P(a,)到焦点距离为1.(1)求抛物线C的方程;(2)直线y=kx+2交C于M,N两点,Q是线段MN的中点,过Q作x轴的垂线交C于点T.证明:抛物线C在点T处的切线与MN平行;是否存在实数k使=0?若存在,求k的值;若不存在,请说明理由.解:(1)依据抛物线的定义知,P到抛物线焦点F的距离为PF=+=1,所以p=,抛物线的方程为x2=y.(2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x0,y0),联立得2x2-kx-2=0,所以x1+x2=,x1x2=-1,所以x0=.因为y=2x2,所以y=k,所以抛物线y=2x2在T点处的切线与MN平行.由可得T,则=x1-x2-+y1
14、-y2-=(k2+1)x1x2+k-(x1+x2)+2-2=-(k2-4)(k2+16)=0,解得k=2,所以存在k=2满足=0.4.(2012年高考江西卷)已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|+|=(+)+2.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(-2x00,关于m的方程m2-m+2-3=0有解.在x轴上存在点C,使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立.7.(2013年高考广东卷)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c0)到直线l:x-y-2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A
15、,B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|BF|的最小值.解:(1)抛物线C的焦点F(0,c)(c0)到直线l:x-y-2=0的距离为,=,得c=1,F(0,1),即抛物线C的方程为x2=4y.(2)设切点A(x1,y1),B(x2,y2),由x2=4y得y=x,切线PA:y-y1=x1(x-x1),有y=x1x-+y1,而=4y1,即切线PA:y=x1x-y1,同理可得切线PB:y=x2x-y2.两切线均过定点P(x0,y0),y0=x1x0-y1,y0=x2x0-y2,由此两式知点A,B均在直线y0=xx0-y上,直线AB的方程为y0=xx0-y,即y=x0x-y0.(3)设点P的坐标为(x,y),由x-y-2=0,得x=y+2,则|AF|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.由得y2+(2y-x2)y+y2=0,有y1+y2=x2-2y,y1y2=y2,|AF|BF|=y2+x2-2y+1=y2+(y+2)2-2y+1=2y+2+,当y=-,x=时,即P,-时,|AF|BF|取得最小值.