1、2022精编复习题（五十九） 直接证明与间接证明、数学归纳法小题对点练点点落实对点练(一)直接证明1已知函数f(x)x，a，b为正实数，Af，Bf()，Cf，则A，B，C的大小关系为()AABCBACBCBCADCBA解析：选A因为，又f(x)x在R上是单调减函数，故ff()f，即ABC.2已知实数a，b，c满足bc64a3a2，cb44aa2，则a，b，c的大小关系是()AcbaBacbCcbaDacb解析：选Acb44aa2(2a)20，cb.已知两式作差得2b22a2，即b1a2.1a2a20，1a2a.b1a2a.cba，故选A.3(2021山西大同质检)分析法又称执果索因法，若用分析
2、法证明“设abc，且abc0，求证：0Bac0C(ab)(ac)0D(ab)(ac)0解析：选C要证a，只需证b2ac3a2，即证(ac)2ac0，即证(2ac)(ac)0，即证2a(ab)(ac)0，即证(ab)(ac)0，故索的因应是(ab)(ac)0.4已知a，bR，m，nb2b，则下列结论正确的是()AmnBmn CmnDmcb6已知点An(n，an)为函数y图象上的点，Bn(n，bn)为函数yx图象上的点，其中nN*，设cnanbn，则cn与cn1的大小关系为_解析：由条件得cnanbnn，cn随n的增大而减小cn1cn1对点练(二)间接证明1用反证法证明命题：“若a，b，c，dR，
3、ab1，cd1，且acbd1，则a，b，c，d中至少有一个负数”的假设为()Aa，b，c，d中至少有一个正数Ba，b，c，d全都为正数Ca，b，c，d全都为非负数Da，b，c，d中至多有一个负数解析：选C用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，而“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定是“a，b，c，d全都为非负数”2用反证法证明“若ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，则BBBCBDB答案：C3用反证法证明命题“设a，b 为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3ax
4、b0恰好有两个实根解析：选A反证法中否定结论需全否定，“至少有一个”的否定为“一个也没有”对点练(三)数学归纳法1用数学归纳法证明2n2n1，n的第一个取值应是()A1B2C3D4解析：选Cn1时，212,2113,2n2n1不成立；n2时，224,2215,2n2n1不成立；n3时，238,2317,2n2n1成立n的第一个取值应是3.2设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足当f(k)k1成立时，总能推出f(k1)k2成立，那么下列命题总成立的是()A若f(1)2成立，则f(10)11成立B若f(3)4成立，则当k1时，均有f(k)k1成立C若f(2)3成立，则f(1)2成立D若
5、f(4)5成立，则当k4时，均有f(k)k1成立解析：选D当f(k)k1成立时，总能推出f(k1)k2成立，说明如果当kn时，f(n)n1成立，那么当kn1时，f(n1)n2也成立，所以如果当k4时，f(4)5成立，那么当k4时，f(k)k1也成立3用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上的项为_解析：当nk时左端为123k(k1)(k2)k2，则当nk1时，左端为123k2(k21)(k22)(k1)2，故增加的项为(k21)(k22)(k1)2.答案：(k21)(k22)(k1)2大题综合练迁移贯通1已知数列an的通项公式为an.求证：数列an中不存在三项按原来顺序
6、成等差数列证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rN*)，则2，所以22rq2rp1.又因为pqr，且p，q，rN*，所以rq，rpN*.所以式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立所以假设不成立，原命题得证2在数列an与bn中，a11，b14，数列an的前n项和Sn满足nSn1(n3)Sn0,2an1为bn与bn1的等比中项，nN*.(1)求a2，b2的值；(2)求数列an与bn的通项公式解：(1)由题设有a1a24a10，a11，解得a23.又4ab2b1，b14，解得b29.(2)由题设nSn1(n3)Sn0，a11，b14，及a23，b29，
7、进一步可得a36，b316，a410，b425，猜想an，bn(n1)2，nN*.先证an，nN*.当n1时，a11，等式成立当n2时，用数学归纳法证明如下：()当n2时，a23，等式成立()假设当nk时等式成立，即ak，k2.由题设，kSk1(k3)Sk，(k1)Sk(k2)Sk1.的两边分别减去的两边，整理得kak1(k2)ak；从而ak1ak.这就是说，当nk1时等式也成立根据()和()可知，等式an对任何的n2成立综上所述，等式an对任何的nN*都成立再用数学归纳法证明bn(n1)2，nN*.(a)当n1时，b1(11)24，等式成立(b)假设当nk时等式成立，即bk(k1)2，那么b
8、k1(k1)12.这就是说，当nk1时等式也成立根据(a)和(b)可知，等式bn(n1)2对任何的nN*都成立3对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足：对任意的x0,1，总有f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)0；(2)试判断函数f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x)(x0,1)是不是理想函数解：(1)证明：取x1x20，则x1x201，f(00)f(0)f(0)，f(0)0.又对任意的x0,1，总有f(x)0，f(0)0，于是f(
9、0)0.(2)对于f(x)2x，x0,1，f(1)2不满足新定义中的条件，f(x)2x，(x0,1)不是理想函数对于f(x)x2，x0,1，显然f(x)0，且f(1)1.任意的x1，x20,1，x1x21，f(x1x2)f(x1)f(x2)(x1x2)2xx2x1x20，即f(x1)f(x2)f(x1x2)f(x)x2(x0,1)是理想函数对于f(x)，x0,1，显然满足条件.对任意的x1，x20,1，x1x21，有f2(x1x2)f(x1)f(x2)2(x1x2)(x12x2)20，即f2(x1x2)f(x1)f(x2)2.f(x1x2)f(x1)f(x2)，不满足条件.f(x)(x0,1)不是理想函数综上，f(x)x2(x0,1)是理想函数，f(x)2x(x0,1)与f(x)(x0,1)不是理想函数