1、第二章2.32.3.2第2课时请同学们认真完成练案16A级基础巩固一、选择题1直线xy1与双曲线4x2y21相交所得弦长为(B)ABCD解析将直线xy1代入4x2y21得3x22x20.设两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|AB|x1x2|.故选B2(20192020学年湖南省长沙市望城区二中月考)设双曲线E：1(a0，b0)的右焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E的右支相交不同的两点，则双曲线的离心率e的取值范围是(A)AB(，2)C(1,2)D(2,2)解析要使直线与双曲线的右支相交不同的两点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线l的斜率，即1，所以e2
2、1112，所以e(1，)故选A3(2017天津文，5)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(D)A1B1Cy21Dx21解析根据题意画出草图如图所示.由AOF的边长为2的等边三角形得到AOF60，c|OF|2.又点A在双曲线的渐近线yx上，tan60.又a2b24，a1，b，双曲线的方程为x21.故选D4若ab0，则axyb0和bx2ay2ab所表示的曲线只可能是下图中的(C)解析方程可化为yaxb和1.从B，D中的两椭圆看a，b(0，)，但B中直线有a0，b0矛盾，应排除；D中直线有a0矛盾，应排除；再看A
3、中双曲线的a0，但直线有a0，b0，也矛盾，应排除；C中双曲线的a0，b0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点若|PF1|3，则|PF2|(C)A1或5B6C7D9解析双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，b3，a2.又|PF1|PF2|2a4，|3|PF2|4.|PF2|7或|PF2|1(舍去)6已知点P在以点F1，F2分别为左、右焦点的双曲线1(a0，b0)上，且满足0，tanPF1F2，则该双曲线的离心率是(B)ABCD解析如图，点P在以点F1，F2分别为左、右焦点的双曲线1(a0，b0)上，且满足0，PF1PF2，tanPF1F2，设|PF2|
4、x，则|PF1|3x，|F1F2|2c x，由双曲线定义得2a|PF1|PF2|3xx2x，该双曲线的离心率e.故选B二、填空题7(20192020学年内蒙古赤峰市宁城县期末测试)双曲线y21一个焦点到一条渐近线的距离为_1_.解析根据对称性，y21焦点坐标F(，0)，渐近线方程为yx，即x2y0，焦点到渐近线距离为1.故答案为1.8过双曲线1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为，这样的直线有_1_条解析依题意得右焦点F(5,0)，所以过F且垂直x轴的直线是x5，代入1，得y，所以此时弦长为2.当不垂直于x轴时，如果直线与双曲线有两个交点，则弦长一定比长因为两顶点间距离为4，即左右两支上的点的
5、最短距离是4，所以如果交于两支的话，弦长不可能为，故只有一条三、解答题9(2020黑龙江省学业水平考试)已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过点(4，)(1)求双曲线标准方程；(2)若直线yk(x1)与双曲线有两个不同的公共点，求k的取值范围解析(1)由双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过点(4，)，设双曲线的方程为：1(a0，b0)，由e，可得ab，由其过点(4，)，可得1，可得ab，故双曲线标准方程为：1.(2)联立直线yk(x1)与双曲线：1，可得：(1k2)x22k2xk260，可得：1k20，且0，可得：4k44(1k2)(k26)0，可得：k1，且k，故k的取
6、值范围是：(1,1).10已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30的直线l，直线l与双曲线交于不同的A，B两点，求AB的长解析(1)双曲线C：1的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，a，解得c3，又c2a2b2，b，双曲线的方程为1.(2)双曲线1的右焦点为F2(3,0)，直线l的方程为y(x3)，联立得5x26x270，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以|AB|.B级素养提升一、选择题1(2017全国文，5)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴
7、垂直，点A的坐标是(1,3)，则APF的面积为(D)ABCD解析因为F是双曲线C：x21的右焦点，所以F(2,0)因为PFx轴，所以可设P的坐标为(2，yP)因为P是C上一点，所以41，解得yP3，所以P(2，3)，|PF|3.又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，所以SAPF|PF|131.故选D2设离心率为e的双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支相交的充要条件是(C)Ak2e21Bk2e21De2k21解析直线l与双曲线C的左、右两支相交的充要条件是直线l的斜率k，两边平方得，k21.3(2020山东卷，9)已知曲线C：
8、mx2ny21(ACD)A若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B若mn0，则C是圆，其半径为C若mn0，则C是两条直线解析对于选项A，mn0，00，方程mx2ny21可变形为x2y2，该方程表示半径为的圆，错误；对于选项C，mn0，方程mx2ny21变形为ny21y，该方程表示两条直线，正确综上选ACD4(多选题)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则(BD)A对任意的a，b，e1e2B当ae2C对任意的a，b，e1b时，e1b时，ee.e1e2.当ab时，e.e1e2.所以，当ab时，e1e2；当ae2.二、填
9、空题5已知直线l：xym0与双曲线x21交于不同的两点A、B，若线段AB的中点在圆x2y25上，则m的值是_1_.解析由，消去y得x22mxm220.4m24m288m280.设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1x22m，y1y2x1x22m4m，线段AB的中点坐标为(m,2m)，又点(m,2m)在圆x2y25上，5m25，m1.6(2019全国卷理改编)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，0，则F1BF2_90_，C的离心率为_2_.解析方法1：由，得A为F1B的中点又 O为F1F2的中点， OABF2.又0，
10、F1BF290. OF2OB， OBF2OF2B.又 F1OABOF2，F1OAOF2B， BOF2OF2BOBF2， OBF2为等边三角形如图所示，不妨设B为. 点B在直线yx上， ， 离心率e2.方法2： 0， F1BF290.在RtF1BF2中，O为F1F2的中点， |OF2|OB|c.如图，作BHx轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得，且|BH|2|OH|2|OB|2c2， |BH|b，|OH|a， B(a，b)，F2(c,0)又 ， A为F1B的中点 OAF2B， ， c2a， 离心率e2.三、解答题7已知曲线C：x2y21和直线l：ykx1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k
11、的取值范围；(2)若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值解析(1)由，得(1k2)x22kx20.直线与双曲线有两个不同的交点，解得k0，b0)，如图，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足|，|，|成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P.(1)求证：；(2)若l与双曲线C的左右两支分别相交于点E，D，求双曲线离心率e的取值范围解析(1)双曲线的渐近线为yx，F(c,0)，所以直线l的斜率为，所以直线l：y(xc)由得P(，)，因为|，|，|成等比数列，所以xAca2，所以xA，A(，0)，(0，)，(，)，(，)，所以，则.(2)由得(b2)x22cx(a2b2)0，x1x2，因为点E，D分别在左右两支上，所以a2，所以e22，所以e.