1、【知识重温】一、必记 3 个知识点1归纳法由一系列有限的特殊事例得出_的推理方法叫归纳法根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为_归纳法和_归纳法一般结论完全不完全2数学归纳法数学归纳法：一个与自然数相关的命题，如果：(1)当 n 取第 1个值 n0 时命题成立；(2)假设当 nk，(kN，且 kn0)时，命题成立的前提下，推出当 nk1 时命题也成立，那么可以断定这个命题对于 n 取第 1 个值后面的所有对正整数成立3数学归纳法证题的步骤(1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值_时，命题成立(2)(归纳递推)假设_(kn0，kN*)时命题成立，证明当_时命题也成立只要完成这两个步
2、骤就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立nn0nknk1二、必明 2 个易误点应用数学归纳法时应注意两点：1数学归纳法证题时，误把第一个值 n0 认为是 1，如证明多边形内角和定理(n2)时，初始值 n03.2数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：必须利用归纳假设作基础；证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；解题时要搞清从 nk 到 nk1 增加了哪些项或减少了哪些项【小题热身】1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)与正整数 n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法()(2)数学归纳法的第一步 n0 的初始值一定为 1.()(3)数学归纳法的两个步骤缺
3、一不可()2下列结论能用数学归纳法证明的是()Axsin x，x(0，)Bexx1(xR)C112 122 12n1212n1(nN*)Dsin()sin cos cos sin(，R)解析：数学归纳法是用来证明与自然数有关的命题的一种方法，由此可知选项 C 符合题意答案：C3若 f(n)1121316n1(nN)，则 f(1)为()A1 B.15C112131415 D非以上答案解析：等式右边的分母是从 1 开始的连续的自然数，且最大分母为 6n1，则当 n1 时，最大分母为 5，故选 C.答案：C4已知 f(n)1n 1n1 1n2 1n2，则()Af(n)中共有 n 项，当 n2 时，f
4、(2)1213Bf(n)中共有 n1 项，当 n2 时，f(2)121314Cf(n)中共有 n2n 项，当 n2 时，f(2)1213Df(n)中共有 n2n1 项，当 n2 时，f(2)121314解析：由 f(n)可知，共有 n2n1 项，且 n2 时，f(2)121314.答案：D5用数学归纳法证明：“1121312n11)”，由nk(k1)不等式成立，推证 nk1 时，左边应增加的项的项数是_解析：当 nk 时，不等式为 1121312k1k.则 nk1 时，左边应为：1121312k112k12k112k11则增加的项数为 2k112k12k.答案：2k考点一 用数学归纳法证明等式
5、自主练透型1求证：1222n2nn12n16.证明：(1)当 n1 时，左边1，右边1112161，左边右边，等式成立(2)假设 nk(kN*，且 k1)时，等式成立，即 1222k2kk12k16，则当 nk1 时，1222k2(k1)2kk12k16(k1)2k1k112k116，所以当 nk1 时，等式仍然成立，由(1)、(2)可知，对于nN*等式恒成立2设 f(n)112131n(nN*)求证：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)证明：(1)当 n2 时，左边f(1)1，右边211211，左边右边，等式成立(2)假设 nk(k2，kN*)时，结论成立，即f(1)f(2
6、)f(k1)kf(k)1，那么，当 nk1 时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)f(k1)1k1k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，当 nk1 时结论仍然成立由(1)(2)可知：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*).悟技法用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值 n0 的取值并验证 nn0 时等式成立(2)由 nk 证明 nk1 时，弄清左边增加的项，且必须用上假设.考点二 用数学归纳法证明不等式互动讲练型例 1 已知数列an，an0，a10，a2n1an11a2n.求证：当 nN*时，anan1.证明：(1)
7、当 n1 时，因为 a2 是方程 a22a210 的正根，所以 a2 512，即 a1a2 成立(2)假设当 nk(kN*，k1)时，0ak0，又 ak1ak0，所以 ak2ak110，所以 ak1ak2，即当 nk1 时，anan1 也成立综上，由(1)(2)可知 an0，整数 p1，nN*.证明：当 x1 且 x0 时(1x)p1px.证明：(1)当 p2 时，(1x)212xx212x，原不等式成立(2)假设 pk(k2，kN*)时，不等式(1x)k1kx 成立当 pk1 时，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx21(k1)x.所以当 pk1 时，原不等式也成
8、立综合(1)(2)可得，当 x1，x0 时，对一切整数 p1，不等式(1x)p1px 均成立考点三 归纳、猜想、证明互动讲练型例 2 已知数列an的前 n 项和 Sn 满足：Snan2 1an1，且an0，nN*.(1)求 a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性解析：(1)当 n1 时，由已知得 a1a12 1a11，a212a120.a1 31(a10)当 n2 时，由已知得 a1a2a22 1a21，将 a1 31 代入并整理得 a222 3a220.a2 5 3(a20)同理可得 a3 7 5.猜想 an 2n1 2n1(nN*)(2)证明：由(1)知，当 n
9、1,2,3 时，通项公式成立假设当 nk(k3，kN*)时，通项公式成立，即 ak 2k1 2k1.由于 ak1Sk1Skak12 1ak1ak21ak，将 ak 2k1 2k1代入上式，整理得a2k12 2k1ak120，ak1 2k3 2k1，即 nk1 时通项公式成立由可知对所有 nN*，an 2n1 2n1都成立.悟技法“归纳猜想证明”的一般环节变式练(着眼于举一反三)2已知数列an满足 Snan2n1.(1)写出 a1，a2，a3，推测 an 的表达式；(2)用数学归纳法证明所得结论解析：(1)由 Snan2n1，得 a132，a274，a3158，推测an2n112n2 12n(nN*)(2)证明：an2 12n(nN*)，当 n1 时，a12 12132，结论成立假设当 nk(k1，kN*)时结论成立，即 ak212k，那么当 nk1 时，a1a2akak1ak12(k1)1，a1a2ak2k1ak，2ak1ak2，2ak1412k，ak12 12k1，当 nk1 时结论成立由知对于任意正整数 n，结论都成立