1、3.3对数函数y=logax的图象和性质课后训练巩固提升一、A组1.函数f(x)=loga(x+1)+1(a0,且a1)的图象恒过定点P,则点P在函数()的图象上.A.y=3x+2B.y=4-x2C.y=2xD.y=log2x解析:令x+1=1,得x=0.又f(0)=loga1+1=1.所以P(0,1),将P(0,1)代入各选项,可知只有选项C符合,故选C.答案:C2.函数y=log12(2x-1)的定义域是()A.1,+)B.(0,+)C.0,1D.(0,1解析:要使函数有意义,只需log12(2x-1)0=log121.02x-11,解得01(a0,且a1),则实数a的取值范围是()A.1
2、2,1B.-,12C.0,1212,+D.(0,1)(1,+)解析:由loga121得loga12logaa,则有a1,a12或0a12,解得12a1.答案:A4.已知ab,函数f(x)=(x-a)(x-b)的图象如图所示,则函数g(x)=logb(x+a)的图象可能为()解析:由题图可知0a1b,故函数g(x)为增函数,排除A,D.又0acaB.acbC.cbaD.cab解析:因为log45log44=1,1=log55log54log53(log53)2,所以cab.答案:D6.若指数函数f(x)=ax(xR)的部分对应值如下表:x-202f(x)410.25则不等式loga(x-1)0的
3、解集为.解析:因为f(-2)=4,所以a-2=4,故a=12,故loga(x-1)0,即log12(x-1)0.所以x-10,x-11,得1x0的解集为(1,2).答案:(1,2)7.已知函数f(x)=loga(2-ax)(a0,且a1),若存在实数a,使函数f(x)在区间0,1上是关于x的减函数,则实数a的取值范围是.解析:令u=2-ax,a0,且a1,u=2-ax在区间0,1上是关于x的减函数.又f(x)=loga(2-ax)在区间0,1上是关于x的减函数,函数y=logau是关于u的增函数,a1.x0,1时,u=2-ax恒为正数,2-a0.a1,2-a0,即1a2,故实数a的取值范围为(
4、1,2).答案:(1,2)8.已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3),其中0a0,x+30,解得-3x1,所以函数f(x)的定义域为(-3,1).(2)函数f(x)可化为f(x)=loga(1-x)(x+3)=loga(-x2-2x+3)=loga-(x+1)2+4,因为-3x1,所以0-(x+1)2+44,因为0a1,所以loga-(x+1)2+4loga4,即f(x)min=loga4,故loga4=-4,得a-4=4,所以a=4-14=22.9.已知函数f(x)=loga(x2-2),且f(2)=1.(1)求a的值;(2)求f(32)的值;(3)解不等式f(x)f(x+
5、2).解:(1)因为f(2)=1,所以loga(22-2)=1,即loga2=1,解得a=2.(2)由(1)得函数f(x)=log2(x2-2),则f(32)=log2(32)2-2=log216=4.(3)不等式f(x)f(x+2),即log2(x2-2)log2(x+2)2-2,即log2(x2-2)0,x2+4x+20,x2-22,所以原不等式的解集为(2,+).10.已知函数f(x)=ln1-mxx-1是奇函数.(1)求m的值.(2)判断f(x)在区间(1,+)上的单调性,并加以证明.解:(1)f(-x)=ln1+mx-x-1=ln-1-mx1+x,-f(x)=-ln1-mxx-1=l
6、nx-11-mx,因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即ln-1-mx1+x=ln-1+x1-mx,所以-1-mx1+x=-1+x1-mx,解得m=1.当m=1时,1-mxx-1=-1,函数无意义,所以m=-1.(2)f(x)在区间(1,+)上是减函数,证明如下:由(1)知f(x)=lnx+1x-1=ln1+2x-1.任取x1,x2且x2x11,则1+2x1-1-1+2x2-1=2x1-1-2x2-1=2(x2-x1)(x1-1)(x2-1).由x2x11知,x2-x10,x1-10,x2-10,所以2(x2-x1)(x1-1)(x2-1)0,即1+2x1-1-1+2x2-10,
7、所以1+2x1-11+2x2-10,所以ln1+2x1-1ln1+2x2-1,即f(x1)f(x2).所以函数f(x)在区间(1,+)上为减函数.二、B组1.不等式log0.5(2x)0,x-10,2xx-1,解得x1.故原不等式的解集为(1,+).答案:A2.已知函数f(x)是函数y=logax(a0,且a1)的反函数,则函数y=f(x)+2的图象恒过点()A.(1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(0,3)解析:因为y=logax(a0,且a1)的图象过定点(1,0),且f(x)是函数y=logax(a0,且a1)的反函数,所以函数f(x)的图象过定点(0,1),从而函数y=f(x)+
8、2的图象过点(0,3).答案:D3.函数f(x)=log2(3x+3-x)是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数解析:因为3x+3-x0恒成立,所以f(x)的定义域为R.又因为f(-x)=log2(3-x+3x)=f(x),所以f(x)为偶函数.答案:B4.已知log13blog13a3a3cB.3a3b3cC.3c3b3aD.3c3a3b解析:由已知得bac,因为y=3x在定义域内是增函数,所以3b3a3c.答案:A5.若对数函数f(x)=log(a2-1)x在区间(0,+)上是增函数,则实数a的取值范围是.解析:由题意得a2-11,解得a2,或a2,或a0的图象
9、如图所示,则a+b+c=.解析:由题中图象可知,x0时,函数f(x)的图象过点(-1,0),(0,2),则有-a+b=0,b=2,解得a=b=2.又由题图可知,函数y=logcx+19的图象过点(0,2),则有logc19=2,解得c=13,所以a+b+c=2+2+13=133.答案:1337.已知f(x)=2+log3x,x1,9,求y=f(x)2+f(x2)的最大值,及y取最大值时x的值.解:f(x)=2+log3x,x1,9,y=f(x)2+f(x2)=(2+log3x)2+(2+log3x2)=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3.函数f(x)的定义域为1,9,
10、要使函数y=f(x)2+f(x2)有意义,必须满足1x29,1x9,解得1x3.令u=log3x,则0u1.又函数y=(u+3)2-3在区间-3,+)上单调递增,当u=1,即x=3时,函数y=(u+3)2-3取得最大值13.故当x=3时,函数y=f(x)2+f(x2)取得最大值13.8.我们知道对数函数f(x)=logax,对任意x,y0,都有f(xy)=f(x)+f(y)成立,若a1,则当x1时,f(x)0.参照对数函数的性质,研究下面的问题:定义在区间(0,+)上的函数f(x)对任意x,y(0,+),都有f(xy)=f(x)+f(y),并且当且仅当x1时,f(x)0成立.(1)设x,y(0
11、,+),求证:fyx=f(y)-f(x);(2)设x1,x2(0,+),若f(x1)f(x2),比较x1与x2的大小.(1)证明:对任意x,y(0,+),都有f(xy)=f(x)+f(y),把x用yx代替,把y用x代替,可得f(y)=fyx+f(x),即fyx=f(y)-f(x).(2)解:先判断函数f(x)在x(0,+)上的单调性,设x3,x4(0,+),且x3x4,则f(x3)-f(x4)=fx3x4.又因为x3,x4(0,+),且x3x4,所以x3x41.由题目已知条件当且仅当x1时,f(x)0成立,故fx3x40,则f(x3)-f(x4)=fx3x40,即f(x3)f(x4).所以函数f(x)在x(0,+)上单调递增.因此对x1,x2(0,+),若f(x1)f(x2),则可以得到x1x2.