1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2课时正切函数的图象与性质学 习 目 标核 心 素 养1能画出ytan x的图象，借助图象理解正切函数在区间上的性质(重点)2掌握正切函数的性质，会求正切函数的定义域、值域及周期，会用函数的图象与性质解决综合问题(重点、难点)1通过正切函数图象与性质的学习，培养学生直观想象核心素养2借助正切函数图象与性质的应用，提升学生直观想象和数学运算核心素养.1正切函数的图象(1)正切函数的图象：ytan x的图象如图(2)正切函数的图象叫做正切曲线(3)正切函数的图象特征：正切曲线是由通过点(kZ)且与y轴平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成2正切函数的性质(1)函数yt
2、an x的图象与性质表：解析式ytan x图象定义域 值域R周期奇偶性奇函数单调性在开区间kZ内都是增函数(2)函数ytan x(0)的最小正周期是.思考：正切函数的图象是对称的吗？提示正切函数是奇函数，其图象关于原点对称，并且有无数个对称中心，对称中心的坐标为(kZ)，正切函数的图象不是轴对称图形1函数y3tan x7的值域是()ARBx|xk，kZC(0，)D(kZ)A因为ytan x，xR的值域为R，所以y3tan x7的值域也为R.2ytan定义域为_2xk，kZ，x，kZ.3函数ytan的单调增区间为_，kZ令kxk，kZ，得kxk，即ytan的单调增区间为，kZ.正切函数的定义域、
3、值域问题【例1】(1)函数ylg(1tan x)的定义域是_(2)函数ytan(sin x)的值域为_(3)求函数ytan2 x2tan x5，x的值域思路探究(1)列出使各部分有意义的条件，注意正切函数自身的定义域(2)利用正弦函数的有界性及正切函数图象求值域(3)换元转化为二次函数在给定区间上求值域问题(1)(2)tan 1，tan 1(1)要使函数ylg(1tan x)有意义，则即1tan x1.在上满足上述不等式的x的取值范围是.又因为ytan x的周期为，所以所求x的定义域为.(2)因为1sin x1，且1,1，所以ytan x在1,1上是增函数，因此tan(1)tan xtan 1
4、，即函数ytan(sin x)的值域为tan 1，tan 1(3)解：令ttan x，x，ttan x，)，yt22t5(t1)26，抛物线开口向下，对称轴为t1，t1时，取最大值6，t时，取最小值22，函数ytan2 x2tan x5，x时的值域为22，61求正切函数定义域的方法及求值域的注意点：(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数ytan x有意义即xk，kZ；(2)求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围2解正切不等式的两种方法：(
5、1)图象法：先画出函数图象，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合；(2)三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域要特别注意函数的定义域1求函数y的定义域解根据题意，得解得(kZ)所以函数的定义域为(kZ).正切函数的奇偶性、周期性【例2】(1)函数y4tan的周期为_(2)判断下列函数的奇偶性：f(x)；f(x)tantan.思路探究(1)可用定义法求，也可用公式法求，也可作出函数图象来求(2)可按定义法的步骤判断(1)由于3，故函数的周期为T.(2)由得f(x)的定义域为，不关于原点对称，所以函数f(x)既不是偶函数，也不是
6、奇函数函数定义域为，关于原点对称，又f(x)tantantantanf(x)，所以函数是奇函数1函数f(x)Atan(x)周期的求解方法：(1)定义法(2)公式法：对于函数f(x)Atan(x)的最小正周期T.(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现2判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(x)与f(x)的关系2(1)求f(x)tan的周期；(2)判断ysin xtan x的奇偶性解(1)tantan，即tantan，f(x)tan的周期是.(2)
7、定义域为，关于原点对称，f(x)sin(x)tan(x)sin xtan xf(x)，函数是奇函数.正切函数的单调性探究问题1正切函数ytan x在其定义域内是否为增函数？提示不是函数的单调性是相对于定义域内的某个区间而言的正切函数的图象被直线xk(kZ)隔开，所以它的单调区间只在(kZ)内，而不能说它在定义域内是增函数假设x1，x2，x1x2，但tan x1tan x2.2正切函数的定义域能写成，(kZ)吗？为什么？提示不能因为正切函数的定义域是，它表示x是不等于k(kZ)的全体实数，而(kZ)只表示k取某个整数时的一个区间，而不是所有区间的并集【例3】(1)求函数ytan的单调区间；(2)
8、比较tan 1，tan 2，tan 3的大小思路探究(1)可先令ytan，从而把x整体代入，kZ这个区间内解出x便可(2)可先把角化归到同一单调区间内，即利用tan 2tan(2)，tan 3tan(3)，最后利用ytan x在上的单调性判断大小关系解(1)ytantan，由kxk(kZ)，得2kx2k，(kZ)，函数ytan的单调递减区间是(kZ)，无增区间(2)tan 2tan(2)，tan 3tan(3)，又2，20，3，30，显然231，且ytan x在内是增函数，tan(2)tan(3)tan 1，即tan 2tan 3tan 1.求yAtan(x)的单调区间，可先用诱导公式把化为正
9、值，由kxk求得x的范围即可.比较两个同名函数的大小，应保证自变量在同一单调区间内.3(1)求函数ytan的单调区间；(2)比较tan与tan的大小解(1)ytan单调区间为(kZ)，k2xk(kZ)，x，kZ，函数ytan的单调递增区间为kZ.(2)由于tantantan tan ，tantantan ，又0，而ytan x在上单调递增，所以tan tan ，即tantan.(教师用书独具)1对函数yAtan(x)k(0)周期的两点说明(1)一般地，函数yAtan(x)k(0)的最小正周期T.(2)当0时，函数yAtan(x)k具有周期性，最小正周期是.2“三点两线法”作正切曲线的简图(1)
10、“三点”分别为(k，0)，其中kZ；两线为直线xk和直线xk，其中kZ(两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)(2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期内即可3解答正切函数图象与性质问题应注意的两点(1)对称性：正切函数图象的对称中心是(kZ)，不存在对称轴(2)单调性：正切函数在每个(kZ)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的.1函数ytan x的值域是()A1,1B1,0)(0,1C(，1D1，)B根据函数的单调性可得2直线y3与函数ytan x(0)的图象相交，则相邻两交点间的距离是()A
11、BC DC直线y3与函数ytan x的图象的相邻交点间的距离为ytan x的周期，故距离为.3函数f(x)tan的定义域是_，f_.由题意知xk(kZ)，即xk(kZ)故定义域为，且ftan.4函数ytan x的单调递减区间是_(kZ)因为ytan x与ytan x的单调性相反，所以ytan x的单调递减区间为(kZ)5求下列函数的定义域：(1)y；(2)ylg(tan x)解(1)要使函数y有意义，需使所以函数的定义域为.(2)要使函数有意义，则tan x0，所以tan x.又因为tan x时，xk(kZ)，根据正切函数图象(图略)，得kxk(kZ)，所以函数的定义域是.- 11 - 版权所有高考资源网