1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.4正态分布学 习 目 标核 心 素 养1.利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义(重点)2能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义(重点)3会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率(难点)1.通过学习正态分布，体会数学抽象和直观想象的素养2借助“3”原则解题，提升数学运算的素养.1正态曲线若，(x)，x(，)，其中实数和(0)为参数，我们称，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线2正态分布如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(a0，P(aXa)，(x)dx.(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率：P(X)
2、0.682_7，P(2X2)0.954_5，P(3X3)0.997_3.(3)通常认为服从于正态分布N(，2)的随机变量X只取(3，3)之间的值，并简称之为3原则1已知随机变量X服从正态分布N(2，2)，则P(X2)()A.B.C. D.D由题意知X的均值为2，因此P(X2).2正态曲线关于y轴对称，则它所对应的正态总体均值为()A1B1C0D不确定C由正态曲线性质知均值为0.3正态分布的概率密度函数P(x)e在(3,7内取值的概率为_0682 7由题意可知XN(5,4)，且5，2，所以P(3X7)P(0)和N(2，)(20)的密度函数图象如图所示，则有()A12，12B12C12，12，12
3、A根据正态分布的性质：对称轴方程x，表示正态曲线的形状由题图可得，选A.正态分布下的概率计算【例2】(1)已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(02)()A0.6B0.4C0.3D0.2(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(1,1)内取值的概率思路点拨(1)根据正态曲线的对称性进行求解；(2)题可先求出X在(1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x1对称知，X在(1,1)内取值的概率就等于在(1,3)内取值的概率的一半(1)C随机变量X服从正态分布N(2，2)，2，对称轴是x2.P(4)0.8，P(4)P(0)0.2，P(04)0.6，
4、P(0c1)P(Xc1)(1)求c的值；(2)求P(4xc1)P(Xc1)，故有2(c1)(c1)2，所以c2.(2)P(4x8)P(223x223)0.954 5.正态分布的实际应用【例3】在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即N(90,100)(1)试求考试成绩位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？思路点拨(1)(2)解因为N(90,100)，所以90，10.(1)由于正态变量在区间(2，2)内取值的概率是0.954 5，而该正态分布中， 29021070，290210110，于是考试成
5、绩位于区间(70,110)内的概率为0.954 5.(2)由90，10，得80，100.由于正态变量在区间(，)内取值的概率是0.682 7，所以考试成绩位于区间(80,100)内的概率就是0.682 7.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2 0000.682 71 365(人)正态曲线的应用及求解策略1本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3区间，由特殊区间的概率值求出2解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(，(2，2，(3，3三个区间内的概率在此过程中用到归纳思想和数形结合思想3某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布
6、N(4,0.52)，质量检查人员从该厂生产的1 000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为5.7 cm，该厂生产的这批零件是否合格？解由于X服从正态分布N(4,0.52)，由正态分布的性质，可知正态分布N(4,0.52)在(430.5,430.5)之外的取值的概率只有0.002 7，而5.7(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的正态总体在某个区间内取值的概率求法：(1)熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对称的区间上概率相等P
7、(Xa)1P(Xa)，P(Xa)P(Xa)，若b，则P(Xb).1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)正态变量函数表达式中参数，的意义分别是样本的均值与方差()(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量()(3)正态曲线是一条钟形曲线()答案(1)(2)(3)2设随机变量X的正态密度函数为f(x)e，x(，)，则参数，的值分别是()A3，2B3，2C3，D3，D由正态密度函数表达式知3，.3设XN，则P(1x1)_.0954 5XN，0，P(1X1)P(02X02)0.954 5.4有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4)若这批零件共有5 000个，试求：(1)这
8、批零件中尺寸在1822 mm间的零件所占的百分比；(2)若规定尺寸在2426 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？解(1)XN(20,4)，20，2，18，22，于是尺寸在1822 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%.(2)314，326，216，224，尺寸在1426 mm间的零件所占的百分比大约是99.73%，而尺寸在1624 mm间的零件所占的百分比大约是95.45%.尺寸在2426 mm间的零件所占的百分比大约是2.14%.因此尺寸在2426 mm间的零件大约5 0002.14%107(个)这批零件中不合格的零件大约有107个- 8 - 版权所有高考资源网