1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值学 习 目 标核 心 素 养1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值(重点)2.掌握两点分布、二项分布的均值(重点)3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题(难点)1.通过离散型随机变量的均值的学习，体会数学抽象的素养2.应用随机变量的均值解题提升数学运算的素养.1离散型随机变量的均值(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2xixnPp1p2pipn则称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望(2)意义：它反映了
2、离散型随机变量取值的平均水平(3)性质：如果X为(离散型)随机变量，则YaXb(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Yaxib)P(Xxi)，i1,2,3，n.E(Y)E(aXb)aE(X)b.2两点分布和二项分布的均值(1)若X服从两点分布，则E(X)p；(2)若XB(n，p)，则E(X)np.思考：随机变量的均值与样本平均值有什么关系？提示随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值1若随机变量X的分布列为X101p则E(X)()A0B1CDCE(X)ipi(
3、1)01.2设E(X)10，则E(3X5)_.35E(3X5)3E(X)5310535.3若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为_E(X)np4.求离散型随机变量的均值【例1】某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值解X的取值分别为1,2,3,4.X1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X1)0.6.X2，表明李明在第一次考试未
4、通过，第二次通过了，故P(X2)(10.6)0.70.28.X3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P(X3)(10.6)(10.7)0.80.096.X4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X4)(10.6)(10.7)(10.8)0.024.所以李明一年内参加考试次数X的分布列为X1234P0.60.280.0960.024所以X的均值为E(X)10.620.2830.09640.0241.544.求离散型随机变量X的均值的步骤1理解X的实际意义，并写出X的全部取值2求出X取每个值的概率3写出X的分布列(有时也可省略)4利用定义公式E(X)x1p1x2p2xnpn求出
5、均值其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中要注重运用概率的相关知识1盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值解X可取的值为1,2,3，则P(X1)，P(X2)，P(X3)1.抽取次数X的分布列为X123PE(X)123.离散型随机变量的均值公式及性质【例2】已知随机变量X的分布列如下：X21012Pm(1)求m的值；(2)求E(X)；(3)若Y2X3，求E(Y)解(1)由随机变量分布列的性质，得m1，解得m.(2)E(X)(2)(1)012.(3)法一：(公式法)由公式E(aXb)aE(X
6、)b，得E(Y)E(2X3)2E(X)323.法二：(直接法)由于Y2X3，所以Y的分布列如下：Y75311P所以E(Y)(7)(5)(3)(1)1.1该类题目属于已知离散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式，E(X)x1p1x2p2xnpn求解2对于aXb型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aXb)aE(X)b；也可以先列出aXb的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便2已知随机变量X的分布列为X123P且YaX3，若E(Y)2，则a的值为_3E(X)123.YaX3，E(Y)aE(X)3a32.解得a3.两点分布与二项分布的均值【例3】某运动员投篮命中率为p0.6.(
7、1)求投篮1次时命中次数X的均值；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的均值思路点拨(1)利用两点分布求解(2)利用二项分布的数学期望公式求解解(1)投篮1次，命中次数X的分布列如下表：X01P0.40.6则E(X)0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即YB(5,0.6)，则E(Y)np50.63.1(变换条件)求重复10次投篮时，命中次数的均值解E()100.66.2(改变问法)重复5次投篮时，命中次数为Y，命中一次得3分，求5次投篮得分的均值解设投篮得分为变量，则3Y.所以E()E(3Y)3E(Y)339.1常见的两种分布的均值设p为一次试验中成功的概率，则(1)两
8、点分布E(X)p；(2)二项分布E(X)np.熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度2两点分布与二项分布辨析(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生(2)不同点：随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值x0,1,2，n.试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验离散型随机变量均值的实际应用探究问题1某篮球明星罚球命中率为0.7，罚球命中得1分，不中得0分，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？提示每次平均得分为0.8.2在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么
9、？提示在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为00.310.70.7(分)因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X的数学期望来描述他总体得分的平均水平具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X的均值的一个分数【例4】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70
10、%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？思路点拨解(1)X的所有可能取值有6,2,1，2.P(X6)0.63，P(X2)0.25，P(X1)0.1，P(X2)0.02.故X的分布列为：X6212P0.630.250.10.02(2)E(X)60.6320.2510.1(2)0.024.34.(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)60.72(10.70.01x)1x(2)0.014.76x(0x0.29)依题意，E(X)4.73，即4.76x4.73，解得x0.03，所以三等品率最多为3%.1实际问题中的均值问题均值在实际生活中有
11、着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计2概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论3某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖
12、，记他们的累计得分为X，求X3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，则他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？解(1)由已知得小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X3”为事件A，则事件A的对立事件为“X5”，因为P(X5)，所以P(A)1P(X5).所以这两人的累计得分X3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)由已知得X1B，X2B，所以E(X1)2，E(X2)
13、2.所以E(2X1)2E(X1)，E(3X2)3E(X2).因为E(2X1)E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大1求离散型随机变量均值的步骤：(1)确定离散型随机变量X的取值；(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；(3)根据公式写出均值2若X，Y是两个随机变量，且YaXb，则E(Y)aE(X)b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化()(2)随机变量的均值反映样本的平均水平()(3)若随机变量X的数学期望E(X)2，则E(2X)4.(
14、)(4)随机变量X的均值E(X).()答案(1)(2)(3)(4)2已知随机变量X的分布列为X123P0.20.5m则X的均值是()A2B2.1C2.3D随m的变化而变化B由0.20.5m1得m0.3，E(X)10.220.530.32.1，故选B.3已知XB，则E(2X3)_.103E(X)10050，E(2X3)2E(X)3103.4袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X表示取得的分数求：(1)X的分布列；(2)X的均值解(1)由题意知，X可能取值为0,1,2,3,4.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).故X的分布列为X01234P(2)E(X)01234.- 11 - 版权所有高考资源网