1、2014-2015学年广东省汕头市潮南区陈店实验学校高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（） A 2 B 2 C D 2设集合M=x|x1|2，N=x|x（x3）0，那么“aM”是“aN”的（） A 必要而不充分条件 B 充分而不必要条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件3设等差数列an的前n项和为Sn，若S3=9，S5=20，则a7+a8+a9=（） A 63 B 45 C 27 D 364用数学归纳法证明“n3+（n+1）3+（n+2）3（nN*
2、）能被9整除”，要利用归纳假设证n=k+1时的情况，只需展开（） A （k+3）3 B （k+2）3 C （k+1）3 D （k+1）3+（k+2）35已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值为（） A B C 4 D 106函数y=f（x）在定义域（，3）内可导，其图象如图所示，记y=f（x）的导函数为y=f（x），则不等式f（x）0的解集为（） A ，12，3） B 1， C ，1，2 D ，7动点P在函数y=sin2x的图象上移动，动点Q（x，y）满足=（，0），则动点Q的轨迹方程为（） A y=sin（2x+） B y=sin（2x） C y=sin（2x+） D y=sin（2x）8已
3、知F1，F2是双曲线=1（a0，b0）的左右两个焦点，过点F1作垂直于x轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，ABF2是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（） A （1，2） B （1，） C （1，5） D （，+）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9已知x0，y0，且，若x+2ym2+2m恒成立，则实数m的取值范围是10从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x，y），则点M取自图中非阴影部分的概率为11如图，在四边形ABCD中，=，E为BC的中点，且=x+y，则3x2y=12函数的单调递减区间为13由定积分的几何意义可知dx=14黑白两种颜色的正六边形地
4、面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖块三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤15（12分）（2009秋揭阳期末）已知：ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c且（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求c边的长16（12分）（2014春化州市期中）已知等差数列bn中，且已知a1=3，a3=9（1）求数列bn的通项公式；（2）求数列an的通项公式和前n项和Sn17（14分）（2015兰州二模）如图，四边形ABCD是正方形，EA平面ABCD，EAPD，AD=PD=2EA，F，G，H分别为PB，EB，PC
5、的中点（1）求证：FG平面PED；（2）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小18（14分）（2014春化州市期中）已知函数f（x）=x33x2+ax+b在x=1处的切线与x轴平行（1）求a的值和函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象与抛物线y=x215x+3恰有三个不同交点，求b的取值范围19（14分）（2015春潮南区校级期中）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点分别F1、F2焦距为2，且与双曲线y2=1共顶点P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标为（0，b），求过P、Q、F2三点的圆的方程；
6、（3）若=，且，2，求的最大值20（14分）（2015春潮南区校级期中）已知函数f（x）=lnxax22x（a0）（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；（2）若a=且关于x的方程f（x）=x+b在1，4上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（3）设各项为正的数列an满足：a1=1，a n+1=lnan+an+2，nN*，求证：an2n12014-2015学年广东省汕头市潮南区陈店实验学校高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实
7、数a为（） A 2 B 2 C D 考点： 复数代数形式的混合运算 专题： 计算题分析： 复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后它的实部为0，可求实数a的值解答： 解：复数=，它是纯虚数，所以a=2，故选A点评： 本题是基础题，考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型2设集合M=x|x1|2，N=x|x（x3）0，那么“aM”是“aN”的（） A 必要而不充分条件 B 充分而不必要条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题： 常规题型分析： 整理两个集合中包含的不等式，化简为最简形式，观察两个集合之间的关系，看出是MN，根据
8、两个集合之间的包含关系得到结果解答： 解：集合M=x|x1|2=x|1x3N=x|x（x3）0=x|0x3MN，aM是aN必要不充分条件，故选A点评： 本题考查条件问题，本题解题的关键是根据所给的集合判断两个集合之间的关系，利用集合的关系来判断条件问题是最常用的一种解题方法3设等差数列an的前n项和为Sn，若S3=9，S5=20，则a7+a8+a9=（） A 63 B 45 C 27 D 36考点： 等差数列的性质 专题： 等差数列与等比数列分析： 由等差数列的性质和已知可得a2和a3，可得公差，进而可得a8，而要求的式子等于3a8，代值计算可得解答： 解：由等差数列的性质可得S3=3a2=9
9、，S5=5a3=20，解得a2=3，a3=4，公差d=43=1，a8=a2+6d=3+6=9，a7+a8+a9=3a8=27故选：C点评： 本题考查等差数列的性质，求出公差d和a8是解决问题的关键，属中档题4用数学归纳法证明“n3+（n+1）3+（n+2）3（nN*）能被9整除”，要利用归纳假设证n=k+1时的情况，只需展开（） A （k+3）3 B （k+2）3 C （k+1）3 D （k+1）3+（k+2）3考点： 数学归纳法 专题： 证明题；点列、递归数列与数学归纳法分析： 本题考查的数学归纳法的步骤，根据归纳假设，只需展开 （k+3）3解答： 解：n=k+1时，证明“（k+1）3+（k
10、+2）3+（k+3）3能被9整除”，根据归纳假设，n=k时，证明“k3+（k+1）3+（k+2）3能被9整除”，所以只需展开 （k+3）3故选：A点评： 数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立5已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值为（） A B C 4 D 10考点： 圆锥曲线的共同特征 专题： 计算题分析： 求出双曲线的两焦点坐标，即为椭圆的焦点坐标，即可得到c的值，然后根据椭圆的定义得到
11、a，最后利用a，b，c的关系即可求出a的值解答： 解：双曲线方程化为 ，（1分）由此得a=2，b=，（3分）c=，焦点为（，0），（，0）（7分）椭圆中，则a2=b2+c2=9+7=16（11分）则a的值为4故选C点评： 此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征，会求椭圆的标准方程，是一道综合题本题还考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用条件求出a，b，c值，是解题的关键6函数y=f（x）在定义域（，3）内可导，其图象如图所示，记y=f（x）的导函数为y=f（x），则不等式f（x）0的解集为（） A ，12，3） B 1， C ，1，2 D ，考点： 函数的单调性及单调区间 专题：
12、函数的性质及应用；导数的综合应用分析： 不等式f（x）0的解即为函数y=f（x）的单调递减区间，所以通过图象写出f（x）的单调减区间即可解答： 解：根据导数符号和函数单调性的关系即知：f（x）0的解为函数f（x）的单调减区间；所以根据图象可写出f（x）的减区间，即f（x）0的解为：2，3）故选：A点评： 考查函数导数符号和函数单调性的关系，从而明白不等式f（x）0的解即为f（x）的单调递减区间，根据f（x）的图象能够找到其递减区间7动点P在函数y=sin2x的图象上移动，动点Q（x，y）满足=（，0），则动点Q的轨迹方程为（） A y=sin（2x+） B y=sin（2x） C y=sin（
13、2x+） D y=sin（2x）考点： 轨迹方程；函数y=Asin（x+）的图象变换 专题： 函数的性质及应用；三角函数的图像与性质分析： 设出P的坐标，利用=（，0），直接求出动点Q的轨迹方程解答： 解：设P（a，b），=（，0），动点Q（x，y）xa=，yb=0，可得，动点P在函数y=sin2x的图象上移动，y=sin2（x）=sin（2x），动点Q的轨迹方程为y=sin（2x）故选：D点评： 本题考查轨迹方程的求法，相关点方法的应用，考查计算能力8已知F1，F2是双曲线=1（a0，b0）的左右两个焦点，过点F1作垂直于x轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，ABF2是锐角三角形
14、，则该双曲线的离心率e的取值范围是（） A （1，2） B （1，） C （1，5） D （，+）考点： 双曲线的简单性质 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 根据题意，求出AB=，F1F2=2c，ABF2是锐角三角形，只要AF2B为锐角，即AF1F1F2即可，从而可得结论解答： 解：根据题意，易得AB=，F1F2=2c，由题设条件可知ABF2为等腰三角形，ABF2是锐角三角形，只要AF2B为锐角，即AF1F1F2即可；所以有2c，即4a2c2a2，解出e（1，），故选：B点评： 本题考查双曲线的离心率和锐角三角形的判断，在解题过程中要注意隐含条件的挖掘二、填空题：本大题共6小题
15、，每小题5分，满分30分9已知x0，y0，且，若x+2ym2+2m恒成立，则实数m的取值范围是4m2考点： 函数恒成立问题 专题： 计算题；压轴题分析： 先把x+2y转化为（x+2y）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2ym2+2m求得m2+2m8，进而求得m的范围解答： 解：，x+2y=（x+2y）=4+4+2=8x+2ym2+2m恒成立，m2+2m8，求得4m2故答案为：4m2点评： 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用考查了学生分析问题和解决问题的能力10从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x，y），则点M取自图中非阴影部分的概率为考点： 几何概型 专题： 计算题；概
16、率与统计分析： 分别计算长方形区域的面积，阴影部分的面积，从而可得图中非阴影部分的面积，以面积为测度，可得结论解答： 解：长方形区域的面积为31=3，阴影部分的面积为=1图中非阴影部分的面积为31=2点M取自图中非阴影部分的概率为，故答案为：点评： 本题考查几何概型，考查面积的计算，正确求阴影部分的面积是关键11如图，在四边形ABCD中，=，E为BC的中点，且=x+y，则3x2y=1考点： 向量的线性运算性质及几何意义 专题： 平面向量及应用分析： 利用向量共线定理和向量的三角形法则及其多边形法则即可得出解答： 解：E为BC的中点，又=，=，=而=x+y，3x2y=21=1故答案为：1点评：
17、本题考查了向量共线定理和向量的三角形法则及其多边形法则、平面向量基本定理，属于基础题12函数的单调递减区间为（0，1考点： 利用导数研究函数的单调性 专题： 计算题分析： 根据题意，先求函数的定义域，进而求得其导数，即y=x=，令其导数小于等于0，可得0，结合函数的定义域，解可得答案解答： 解：对于函数，易得其定义域为x|x0，y=x=，令0，又由x0，则0x210，且x0；解可得0x1，即函数的单调递减区间为（0，1，故答案为（0，1点评： 本题考查利用导数求函数的单调区间，注意首先应求函数的定义域13由定积分的几何意义可知dx=2考点： 定积分 专题： 计算题分析： 本题利用定积分的几何意
18、义计算定积分，即求被积函数y=与x轴所围成的图形的面积即可解答： 解：根据定积分的几何意义，则 dx表示圆心在原点，半径为2的圆的上半圆的面积，故 dx=22=2故答案为：2点评： 本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想属于基础题14黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖4n+2块考点： 归纳推理 专题： 探究型分析： 通过已知的几个图案找出规律，可转化为求一个等差数列的通项公式问题即可解答： 解：第1个图案中有白色地面砖6块；第2个图案中有白色地面砖10块；第3个图案中有白色地面砖14块；设第n个图案中有白
19、色地面砖n块，用数列an表示，则a1=6，a2=10，a3=14，可知a2a1=a3a2=4，可知数列an是以6为首项，4为公差的等差数列，an=6+4（n1）=4n+2故答案为4n+2点评： 由已知的几个图案找出规律转化为求一个等差数列的通项公式是解题的关键三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤15（12分）（2009秋揭阳期末）已知：ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c且（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求c边的长考点： 解三角形；三角函数的恒等变换及化简求值 专题： 计算题分析： （1）利用两角和公式和诱
20、导公式整理题设等式求得sin（A+B）=sin2C，进而整理求得cosC的值，进而求得C（2）利用sinA，sinC，sinB成等差数列求得三者的关系式，利用正弦定理转化成边的关系式，利用求得ab的值，进而分别代入余弦定理求得c解答： 解：（1）由cos（A）cosB+sinBsin（+A）=sin（2C）得sinAcosB+sinBcosA=sin2Csin（A+B）=sin2C，A+B=C，sin（A+B）sinCsinC=sin2C=2sinCcosC，0CsinC0cosC=C=（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC=sinA+sinB，由正弦定理得2c=a+b，
21、即abcosC=18，ab=36由余弦弦定理c2=a2+b22abcosC=（a+b）23ab，c2=4c2336，c2=36，c=6点评： 本题主要考查了解三角形问题，三角函数恒等变换及化简求值考查了考生分析问题的能力和基本的运算能力16（12分）（2014春化州市期中）已知等差数列bn中，且已知a1=3，a3=9（1）求数列bn的通项公式；（2）求数列an的通项公式和前n项和Sn考点： 等差数列的前n项和；等差数列的通项公式 专题： 等差数列与等比数列分析： （1）由题意易得数列bn的首项和公差，进而可得通项；（2）由（1）的结论可得数列an的通项公式为，由等差和等比数列的求和公式可得答案
22、解答： 解：（1）设等差数列bn的公差为d由a1=3，a3=9，得b1=logz（a11）=log22=1，b3=log2（a31）=log28=3，b3b1=2=2d，d=1，3 分，bn=1+（n1）1=n6 分，（2）由（1）知bn=n，log2（an1）=n，9 分，=11 分，=2n+1+n212 分点评： 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，属基础题17（14分）（2015兰州二模）如图，四边形ABCD是正方形，EA平面ABCD，EAPD，AD=PD=2EA，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点（1）求证：FG平面PED；（2）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大
23、小考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题 专题： 综合题；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用分析： （1）利用三角形的中位线的性质证明FGPE，再根据直线和平面平行的判定定理证得结论；（2）建立空间直角坐标系，根据两个平面的法向量所成的角与二面角相等或互补，由两个平面法向量所成的角求解二面角的大小解答： （1）证明：F，G分别为PB，BE的中点，FGPE，FG平面PED，PE平面PED，FG平面PED；（2）解：EA平面ABCD，EAPD，PD平面ABCD，AD，CD平面ABCD，PDAD，PDCD四边形ABCD是正方形，ADCD以D为原点
24、，建立如图所示的空间直角坐标系，设EA=1 AD=PD=2EA，D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（2，0，1），=（2，2，2），=（0，2，2）F，G，H分别为PB，EB，PC的中点，F（1，1，1），G（2，1，0.5），H（0，1，1），=（1，0，0.5），=（2，0，0.5）设=（x，y，z）为平面FGH的一个法向量，则，得=（0，1，0）同理可得平面PBC的一个法向量为=（0，1，1），cos，=|=，平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为45点评： 本题考查了线面平行的判定，考查了面面角，训练了利用平面法向量求解二面
25、角的大小，解答此类问题的关键是正确建系，准确求用到的点的坐标，此题是中档题18（14分）（2014春化州市期中）已知函数f（x）=x33x2+ax+b在x=1处的切线与x轴平行（1）求a的值和函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象与抛物线y=x215x+3恰有三个不同交点，求b的取值范围考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 专题： 导数的综合应用分析： （1）根据已知得f（1）=0，得到a，利用导数研究函数的单调性的步骤求单调区间；（2）把给定方程做适当的等价变换，得到g（x）的图象与x轴有3个交点；求出单调区间，求出函数的极值，依题意极大值大于0，极小值小
26、于0，进而解出b的取值范围解答： 解：（1）由已知得f（x）=3x26x+a，在x=1处的切线与x轴平行f（1）=0，解得a=9这时f（x）=3x26x9=3（x+1）（x3）由f（x）0，解得x3或x1；由f（x）0，解1x3f（x）的单调增区间为（，1），（3，+）；单调减区间为（1，3）（2）令g（x）=f（x）（x215x+3）=x3x2+6x+b3，则原题意等价于g（x）图象与x轴有三个交点g（x）=3x29x+6=3（x1）（x2）由g（x）0，解得x2或x1；由g（x）0，解得1x2g（x）在x=1时取得极大值g（1）=b；g（x）在x=2时取得极小值g（2）=b1故，b1点评：
27、 本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，应熟练掌握利用可导函数研究函数的单调性的步骤19（14分）（2015春潮南区校级期中）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点分别F1、F2焦距为2，且与双曲线y2=1共顶点P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标为（0，b），求过P、Q、F2三点的圆的方程；（3）若=，且，2，求的最大值考点： 直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；圆的标准方程；椭圆的标准方程 专题： 综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）由题意得c=1，a2=2，可得椭圆C的
28、方程；（2）先求出点Q的坐标，再利用待定系数法，即可求过P、Q、F2三点的圆的方程；（3）利用，结合向量的数量积公式，结合基本不等式，即可求的最大值解答： 解：（1）由题意得c=1，a2=2（2分）故椭圆的方程为（3分）（2）因为P（0，1），F1（1，0），所以PF1的方程为xy+1=0由，解得点Q的坐标为 （5分）设过P，Q，F2三点的圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0（6分）则解得所以圆的方程为（8分）（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，因为，所以，即所以，解得（10分）所以=（12分）因为，所以，当且仅当，即=1时，取等号最大值为 （14分）点评： 本题考查椭圆的方程，考查
29、圆的方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20（14分）（2015春潮南区校级期中）已知函数f（x）=lnxax22x（a0）（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；（2）若a=且关于x的方程f（x）=x+b在1，4上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（3）设各项为正的数列an满足：a1=1，a n+1=lnan+an+2，nN*，求证：an2n1考点： 利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；数列的求和 专题： 导数的综合应用分析： （1）对函数f（x）进行求导，令导数大于等于0在x0上恒成立即可（2）将a的值代入整理成方程的形
30、式，然后转化为函数考虑其图象与x轴的交点的问题（3）设h（x）=lnxx+1然后求导，可判断函数h（x）的单调性，再由数学归纳法得证解答： 解：（1）f（x）=，（x0）依题意f（x）0在x0时恒成立，即ax2+2x10在x0恒成立则a=（ 1）21在x0恒成立，即a（1）21）min（x0）当x=1时，（1）21取最小值1，a的取值范围是（，1（2）a=，f（x）=x+b，x2x+lnxb=0设g（x）=x2x+lnxb（x0）则g（x）=，列表：g（x）极小值=g（2）=ln2b2，g（x）极大值=g（1）=b，又g（4）=2ln2b2方程g（x）=0在1，4上恰有两个不相等的实数根则 ，得：ln22b（3）设h（x）=lnxx+1，x1，+），则h（x）=10h（x）在1，+）为减函数，且h（x）max=h（1）=0，故当x1时有lnxx1a1=1，假设ak1（kN*），则ak+1=lnak+ak+21，故an1（nN*）从而an+1=lnan+an+22an+1，1+an+12（1+an）2n（1+a1）即1+an2n，an2n1点评： 本题主要考查函数单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减