1、第七讲函数的奇偶性与周期性一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内)1定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f(x2)13，f(1)2，则f(99)()A13B2C. D.解析：由f(x)f(x2)13，知f(x2)f(x4)13，所以f(x4)f(x)，即f(x)是周期函数，周期为4.所以f(99)f(3424)f(3).答案：C2(2010郑州)定义在R上的函数f(x)满足：对于任意，R，总有f()f()f()2010，则下列说法正确的是()Af(x)1是奇函数Bf(x)1是奇函数Cf(x)2010是奇函数Df(x)2010是奇函数解析：依题意，
2、取0，得f(0)2010；取x，x，得f(0)f(x)f(x)2010，f(x)2010f(x)f(0)f(x)2010，因此函数f(x)2010是奇函数，选D.答案：D3设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x(0,1)时，f(x)log(1x)，则函数f(x)在(1,2)上()A是增函数，且f(x)0C是减函数，且f(x)0解析：由题意得当x(1,2)时，02x1,0x10，则可知当x(1,2)时，f(x)是减函数，选D.答案：D4设f(x)是连续的偶函数，且当x0时是单调函数，则满足f(x)f的所有x之和为()A3 B3C8 D8解析：因为f(x)是连续的偶函数，且x0时是单调函
3、数，由偶函数的性质可知若f(x)f，只有两种情况：x；x0.由知x23x30，故两根之和为x1x23.由知x25x30，故其两根之和为x3x45.因此满足条件的所有x之和为8.答案：C5已知奇函数f(x)在区间3,7上是增函数，且最小值为5，那么函数f(x)在区间7，3上()A是增函数且最小值为5B是增函数且最大值为5C是减函数且最小值为5D是减函数且最大值为5解析：f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称f(x)在3,7上是增函数，f(x)在7，3上也是增函数f(x)在3,7上的最小值为5，由图可知函数f(x)在7，3上有最大值5.答案：B评析：本题既涉及到函数的奇偶性，又涉及到函数的单
4、调性，还涉及到函数的最值，是一道综合性较强的题目，由于所给的函数没有具体的解析式，因此我们画出函数f(x)在区间3,7上的示意图，由图形易得结论6(2010新课标全国)设偶函数f(x)满足f(x)x38(x0)，则x|f(x2)0()Ax|x4 Bx|x4Cx|x6 Dx|x2解析：当x0，f(x)(x)38x38，又f(x)是偶函数，f(x)f(x)x38，f(x).f(x2)，或，解得x4或x0.故选B.答案：B二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7(2010江苏)设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数a的值为_解析：设g(x)x
5、，h(x)exaex，因为函数g(x)x是奇函数，则由题意知，函数h(x)exaex为奇函数，又函数f(x)的定义域为R，h(0)0，解得a1.答案：18已知函数f(x1)是奇函数，f(x1)是偶函数，且f(0)2，则f(4)_.解析：依题意有f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)，所以f(4)f(3)1)f(2)f(11)f(0)2.答案：29(2010湖北八校)设函数f(x)的定义域、值域分别为A、B，且AB是单元集，下列命题若ABa，则f(a)a；若B不是单元集，则满足ff(x)f(x)的x值可能不存在；若f(x)具有奇偶性，则f(x)可能为偶函数；若f(x)不是常数函数，则f(x)
6、不可能为周期函数其中，正确命题的序号为_解析：如f(x)x1，A1,0，B0,1满足AB0，但f(0)0，且满足ff(x)f(x)的x可能不存在，错，正确；如，f(x)1，AR，B1，则f(x)1，AR是偶函数，正确；如f(x)x2k1，A2k1,2k，B0,1，kZ，f(x)是周期函数，但不是常数函数，所以错误答案：10对于定义在R上的函数f(x)，有下述四个命题，其中正确命题的序号为_若f(x)是奇函数，则f(x1)的图象关于点A(1,0)对称；若对xR，有f(x1)f(x1)，则yf(x)的图象关于直线x1对称；若函数f(x1)的图象关于直线x1对称，则f(x)为偶函数；函数yf(1x)
7、与函数yf(1x)的图象关于直线x1对称解析：f(x1)的图象是由f(x)的图象向右平移一个单位而得到，又f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以f(x1)的图象关于点A(1,0)对称，故正确；由f(x1)f(x1)可知f(x)的周期为2，无法判断其对称轴，故错误；f(x1)的图象关于直线x1对称，则f(x)关于y轴对称，故f(x)为偶函数，正确；yf(1x)的图象是由yf(x)的图象向左平移一个单位后得到，yf(1x)是由yf(x)的图象关于y轴对称后再向右平移一个单位而得到，两者图象关于y轴对称，故错误答案：三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推
8、演步骤)11已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a、b的值；(2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围分析：(1)由f(0)0可求得b，再由特殊值或奇函数定义求得a；(2)先分析函数f(x)的单调性，根据单调性去掉函数符号f，然后用判别式解决恒成立问题解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)0，即0b1，所以f(x)，又由f(1)f(1)知a2.(2)由(1)知f(x)，易知f(x)在(，)上为减函数又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(t22t)f(2t2k)0等价于f(t22t)k2t2，即对tR有：3t22tk0，从而412k
9、0k.12设函数f(x)的定义域为R，对于任意的实数x，y，都有f(xy)f(x)f(y)，当x0时，f(x)0，求证：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(，)上是减函数证明：(1)令xy0，得f(0)f(0)f(0)，f(0)0.再令yx，得f(0)f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为奇函数(2)设x1、x2(，)且x1x2，则x2x10，当x0时，f(x)0，f(x2x1)0.又对于任意的实数x，y都有f(xy)f(x)f(y)且f(x)为奇函数，f(x2x1)fx2(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)0，f(x)在(，)上是减函数13设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足f(x1x2)；存在正常数a，使f(a)1.求证：(1)f(x)是奇函数；(2)f(x)是周期函数，并且有一个周期为4a.证明：(1)不妨令xx1x2，则f(x)f(x2x1)f(x1x2)f(x)f(x)是奇函数(2)要证f(x4a)f(x)，可先计算f(xa)，f(x2a)，f(xa)fx(a)，(f(a)1)f(x2a)f(xa)a.f(x4a)f(x2a)2af(x)故f(x)是以4a为周期的周期函数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m