1、1.4.2 充要条件教学目标1.理解充要条件的意义.2.理解数学定义与充要条件的关系.教学重点：掌握充要条件的概念，理解充要条件的意义，会判断条件与结论之间的充要性教学难点：判断条件与结论之间的充要性教学过程：一、核心概念充要条件(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为(sufficient and necessary condition)(2)当p是q的充要条件时，q也是p的条件(3)p是q的充要条件也常常说成“p成立q成立”，或“p与q”新知拓展1从概念的角度去理解充分
2、条件、必要条件、充要条件(1)若pq，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件(2)若pq，则p是q的充要条件(3)若pq，且qp，则称p是q的充分不必要条件(4)若pq，且qp，则称p是q的必要不充分条件(5)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件2从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即Ax|p(x)，Bx|q(x)，则(1)若AB，则p是q的充分条件(2)若BA，则p是q的必要条件(3)若AB，则p是q的充要条件(4)若AB且BA，即AB，则p是q的充分不必要条件(5)若BA且AB，即BA，则p是q的必要不充分条件(6)若AB
3、且BA，则p是q的既不充分也不必要条件3“”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即pq，qs，则有ps，即p是s的充要条件二、评价自测1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立()(2)符号“”具有传递性()(3)若pq和q不能推出p有一个成立，则p一定不是q的充要条件()(4)“x1”是“x22x10”的充分不必要条件()(5)“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件()答案：（1）、（2）、（3）、（4）、（5）2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)“x23x20”的充要条件是_(2)“x210”是“|x|1
4、0”的_条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)(3)若ABCDEF，“相似比为32”是“对应高的比为32”的_条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)答案：(1)x1或x2(2)充要(3)充要三、典例分析题型一 全称量词命题与存在量词命题的判定例1在下列各题中，试判断p是q的什么条件(1)p：ab，q：acbc；(2)p：a5是无理数，q：a是无理数；(3)若a，bR，p：a2b20，q：ab0；(4)p：ABA，q：.【答案】(1)因为abacbc，而acbc不能推出ab，所以p是q的充分条件，但不是必
5、要条件(2)因为a5是无理数a是无理数，并且a是无理数a5是无理数，所以p是q的充要条件(3)因为a2b20ab0，并且ab0a2b20，所以p是q的充要条件(4)因为ABAABUAUB，并且UBUABAABA，所以p是q的充要条件题型探究 已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：(1)p是r的什么条件？(2)s是q的什么条件？(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？【答案】作出“”图，如右图所示，可知：pq，rq，qs，sr.(1)pqsr，且rq，q能否推出p未知，p是r的充分条件(2)srq，qs，s是q的充要条件(3)共有三对充要条件，qs；s
6、r；rq.金版点睛：判断p是q的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断pq及qp这两个命题是否成立若pq成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若qp成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断pq及qp的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的此外，对于较复杂的关系，常用，等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度跟踪训练1指出下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：ABA
7、，q：ABB；(2)p：q：(3)已知实数a，b，p：a0且b0，q：ab0且ab0.【答案】(1)因为ABABA，而ABBBA，所以ABAABB，所以p是q的充要条件(2)由根据不等式的性质可得即pq，而由不能推出如：1，5满足但不满足2.所以p是q的充分不必要条件(3)由a0且b0ab0且ab0，并且由ab0且ab0a0且b0，所以p是q的充要条件题型二 充要条件的证明例2已知，求证：是的充要条件【证明】充分性：，即.必要性：，.，且，.，.综上可知，当时，是的充要条件题型探究已知a，b是实数，求证：a2b21是a4b42b21成立的充分条件该条件是否为必要条件？试证明你的结论【证明】因为
8、a2b21，所以a4b42b2(a2b2)(a2b2)2b2(a2b2)2b2a2b21.即a2b21是a4b42b21成立的充分条件另一方面，若a4b42b21，即a4(b42b21)0，a4(b21)20，(a2b21)(a2b21)0.又a2b210，所以a2b210，即a2b21.因此a2b21是a4b42b21成立的必要条件金版点睛：充要条件的证明证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”“结论”，必要性需要证明“结论”“条件”.跟踪训练2求证：关于x的方程ax2bxc0(a0)有一正根和一负根的充要条
9、件是ac0，x1x20，ac0.充分性：由ac0及x1x20，方程ax2bxc0有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax2bxc0有一正根和一负根综上可知，关于x的方程ax2bxc0(a0)有一正根和一负根的充要条件是ac0.题型三 探求充要条件例3求关于x的方程ax22x10至少有一个负实根的充要条件【答案】当a0时，方程为一元一次方程，其根为x，符合要求当a0时，方程为一元二次方程，此时ax22x10有实根的充要条件是判别式0，即44a0，从而a1.设方程ax22x10的两根分别为x1，x2，则x1x2，x1x2.()方程ax22x10有一负根一正根的充要条件为a0；()方程ax22x1
10、0有两个负根的充要条件为0a1.综上所述，方程ax22x10至少有一个负实根的充要条件是a1.金版点睛：探求充要条件的两种方法(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证跟踪训练3已知方程x2(2k1)xk20，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件【答案】方程x2(2k1)xk20，则方程有两个大于1的实数根x1，x2：四、随堂练习1已知A，B是非空
11、集合，命题p：ABB，命题q：AB，则p是q的()A充要条件B充分不必要条件C既不充分也不必要条件D必要不充分条件答案：D解析：由ABB，得AB或AB；反之，由AB，得ABB，所以p是q的必要不充分条件2“x2(y2)20”是“x(y2)0”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案：B解析： x2(y2)20，即x0且y2，x(y2)0.反之，x(y2)0，即x0或y2，x2(y2)20不一定成立故“x2(y2)20”是“x(y2)0”的充分不必要条件3设xR，则“x1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案：A解析：因为x1，而|x|1x1，故“x1”的充分不必要条件4关于x的不等式|x|a的解集为R的充要条件是_答案：aa恒成立，|x|0，ay，求证：0.证明：证法一：充分性：由xy0及xy，得，即.必要性：由，得0，即y，所以yx0.所以0.证法二：0yyx0，故由0.所以0，即0.