1、课时跟踪检测(五十四)用样本估计总体的离散程度A级基础巩固1为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()Ax1，x2，xn的平均数Bx1，x2，xn的标准差Cx1，x2，xn的最大值 Dx1，x2，xn的中位数解析：选B平均数和中位数都能反映一组数据的集中趋势，标准差能反映一组数据的稳定程度，最大值是极端数据2某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4，9.4，9.4，9.6，9.7，则该射手成绩的极差和方差分别是()A0.2，0.127 B0.3，0.016C9.4，0.08
2、0 D0.3，0.216解析：选B由题意得，该射手在一次训练中五次射击的成绩的极差为9.79.40.3，平均值为(9.49.49.49.69.7)9.5，所以该射手成绩的方差s2(9.49.5)23(9.69.5)2(9.79.5)20.016，故选B.3样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本方差为()A.BC.D2解析：选D由题可知样本的平均数为1，所以1，解得a1，所以样本的方差为(11)2(01)2(11)2(21)2(31)22.4(多选)某篮球爱好者在一次篮球训练中，需进行五轮投篮，每轮投篮5次统计各轮投进球的个数，获知其前四轮投中的个数分别为
3、2，3，4，4，则第五轮结束后下列数字特征有可能发生的是()A平均数为3，极差是3B中位数是3，极差是3C平均数为3，方差是0.8D中位数是3，方差是0.56解析：选BCD234413，若平均数为3，则第五轮投中的个数为2，所以极差为422，方差为(23)22(33)2(43)220.8，即A错误，C正确；若中位数为3，则第五轮投中的个数为0或1或2或3，当投中的个数为0时，极差为4，方差为(02.6)2(22.6)2(32.6)2(42.6)222.24；当投中的个数为1时，极差为3，方差为(12.8)2(22.8)2(32.8)2(42.8)221.36；当投中的个数为2时，极差为2，方差
4、为0.8；当投中的个数为3时，极差为2，方差为(23.2)2(33.2)22(43.2)220.56，即B和D均正确故选B、C、D.5已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是_解析：这组数据的平均数为8，故方差为s2(68)2(78)2(88)2(88)2(98)2(108)2.答案：6从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为_.分数54321人数2010303010解析：3，s2(20221012300230121022)，s.答案：7已知某省二、三、四线城市数量之比为136，2020年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米
5、，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市的房价的方差为_解析：设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知20s2(1.22.4)210(1.21.8)28(1.20.8)2，解得s2118.52，即二线城市的房价的方差为118.52.答案：118.528两台机床同时生产直径(单位：cm)为10的圆形截面零件，为了检验产品质量，质量检验员从两台机床的产品中各抽出4件进行测量，结果如下：机床甲109.81010.2机床乙10.1109.910如果你是质量检验员，在收集到上述数据后，你将通
6、过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求？解：(1)先计算平均直径：甲(109.81010.2)10，乙(10.1109.910)10.由于甲乙，因此仅由平均直径不能反映两台机床生产的零件的质量优劣(2)再计算方差：s(1010)2(9.810)2(1010)2(10.210)20.02，s(10.110)2(1010)2(9.910)2(1010)20.005.ss，这说明乙机床生产出的零件直径波动小，因此从产品质量稳定性的角度考虑，乙机床生产的零件质量更符合要求9工厂为了解每个工人对某零件的日加工量，统计员分别从两车间抽取了甲、乙两人日加工量的两个样本抽到甲的一个样本容量为10，
7、样本平均数为5，方差为1；乙的一个样本容量为12，样本平均数为6，方差为2.现将这两组样本合在一起，求合在一起后的样本的平均数与方差解：由题意知甲5，s1，乙6，s2，则合在一起后的样本容量为22，样本平均数为(105126)5.55，样本方差为s21(55.55)22(65.55)21.79.B级综合运用10(2020全国卷)在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且i1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()Ap1p40.1，p2p30.4Bp1p40.4，p2p30.1Cp1p40.2，p2p30.3Dp1p40.3，p2p30.2解析：选B对
8、于A选项，该组数据的平均数为xA(14)0.1(23)0.42.5，方差为s(12.5)20.1(22.5)20.4(32.5)20.4(42.5)20.10.65；对于B选项，该组数据的平均数为xB(14)0.4(23)0.12.5，方差为s(12.5)20.4(22.5)20.1(32.5)20.1(42.5)20.41.85；对于C选项，该组数据的平均数为xC(14)0.2(23)0.32.5，方差为s(12.5)20.2(22.5)20.3(32.5)20.3(42.5)20.21.05；对于D选项，该组数据的平均数为xD(14)0.3(23)0.22.5，方差为s(12.5)20.3
9、(22.5)20.2(32.5)20.2(42.5)20.31.45.因此，B选项这一组的标准差最大故选B.11某学校为了调查高一年级学生每周的锻炼时间(单位：h)，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为16.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，则合在一起后的样本均值与样本方差分别是_、_解析：由题意知，甲同学抽取的样本容量m10，样本平均值为5，样本方差为s29；乙同学抽取的样本容量n8，样本平均值为6，样本方差t216.故合在一起后的样本平均值为5.44.样本方差为12.36
10、.答案：5.4412.3612对甲厂、乙厂、丙厂所生产的袋装食品各抽检了20袋，称得质量条形图如图所示据此估计甲厂、乙厂、丙厂质量的标准差，分别用s1，s2，s3表示，试比较s1，s2，s3的大小解：根据题意，甲厂袋装食品质量的平均数1(575859510)8.5，方差s5(78.5)25(88.5)25(98.5)25(108.5)21.25，标准差s1；乙厂袋装食品质量的平均数2(476869410)8.5，方差s4(78.5)26(88.5)26(98.5)24(108.5)21.05，标准差s2；丙厂袋装食品质量的平均数3(674849610)8.5，方差s6(78.5)24(88.5)24(98.5)26(108.5)21.45，标准差s3.所以s3s1s2.C级拓展探究13在分层抽样时，如果总体分为k层，而且第j层抽取的样本量为nj，第j层的样本均值为xj，样本方差为s，j1，2，k.记nj.求证：所有数据的样本均值和方差分别为：(njj)，s2njsnj(j)2证明：